Estatística · FCC · 2019 | Questão sqc-fc058431

Variância relativa após exclusão de elementos

Gabarito: letra A. A variância relativa de P₂ é 10/147, obtida pela razão entre a variância de P₂ e o quadrado de sua média. O caminho é: (1) extrair a variância de P₁ do coeficiente de variação (30%), (2) recalcular a soma dos quadrados após remover os dois elementos iguais a 11, (3) obter a nova média e a nova variância, e (4) dividir a variância pelo quadrado da média.

A variância relativa é uma medida de dispersão relativa, definida como a razão entre a variância e o quadrado da média aritmética: $VR = \frac{\sigma^2}{\bar{x}^2}$ . Ela se relaciona diretamente com o coeficiente de variação de Pearson, pois $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$ , logo $VR = CV^2$ . A questão explora exatamente essa ponte entre as duas medidas, exigindo que o candidato transite entre elas e recalcule as estatísticas após a alteração do conjunto de dados.

Vamos aos cálculos passo a passo.

1. Dados de P₁:

Média: $\bar{x}_1 = 20$
Tamanho: $n_1 = 20$
Coeficiente de variação: $CV_1 = 30\% = 0{,}30$

2. Somatório e soma de quadrados de P₁:

Da média, obtemos o somatório:

\bar{x}_1 = \frac{\sum x_1}{n_1} \Rightarrow 20 = \frac{\sum x_1}{20} \Rightarrow \sum x_1 = 400

Do coeficiente de variação, obtemos o desvio padrão e a variância:

CV_1 = \frac{\sigma_1}{\bar{x}_1} \Rightarrow 0{,}30 = \frac{\sigma_1}{20} \Rightarrow \sigma_1 = 6

\sigma_1^2 = 36

A variância populacional é dada por $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2$ . Logo:

36 = \frac{\sum x_1^2}{20} - 20^2 \Rightarrow \frac{\sum x_1^2}{20} = 36 + 400 = 436 \Rightarrow \sum x_1^2 = 8720

3. Dados de P₂ (após excluir dois elementos iguais a 11):

Novo tamanho: $n_2 = 20 - 2 = 18$
Novo somatório: $\sum x_2 = 400 - 11 - 11 = 378$
Nova soma de quadrados: $\sum x_2^2 = 8720 - 11^2 - 11^2 = 8720 - 121 - 121 = 8478$

4. Nova média e nova variância de P₂:

\bar{x}_2 = \frac{378}{18} = 21

\sigma_2^2 = \frac{8478}{18} - 21^2 = 471 - 441 = 30

5. Variância relativa de P₂:

VR_2 = \frac{\sigma_2^2}{\bar{x}_2^2} = \frac{30}{21^2} = \frac{30}{441} = \frac{10}{147}

Portanto, a variância relativa de P₂ é 10/147.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $VR_2 = \frac{30}{441} = \frac{10}{147}$ . A fração já está na forma irredutível, pois 10 e 147 não possuem divisores comuns (147 = 3 × 7²).

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4/49 = 12/147. Esse número corresponde a $\frac{36}{441}$ , que seria a variância relativa se a variância de P₂ fosse 36 (a variância de P₁, sem considerar a exclusão dos elementos). O candidato que esquece de recalcular a variância após a exclusão chegaria a $\frac{36}{441} = \frac{4}{49}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 16/147 = 48/441. Esse número não corresponde a nenhuma estatística intermediária direta do problema. Pode surgir de um erro de cálculo na nova soma de quadrados (por exemplo, subtraindo apenas 11² uma vez, em vez de duas).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 8/49 = 24/147 = 72/441. Esse número corresponderia a uma variância de P₂ igual a 72, que não é o caso. Pode resultar de um erro na divisão da soma de quadrados (por exemplo, usando $n_2 = 18$ mas esquecendo de subtrair o quadrado da nova média corretamente).

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4/441. Esse número é a variância relativa se a variância de P₂ fosse 4, o que não ocorre. Pode surgir de um erro na extração da raiz quadrada ou na confusão entre desvio padrão e variância.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão. O coeficiente de variação de 30% fornece o desvio padrão (6), não a variância (36). Quem usa 0,30 como se fosse a variância ou esquece de elevar ao quadrado na variância relativa erra o caminho. Além disso, é preciso lembrar que a exclusão de elementos altera tanto a média quanto a soma de quadrados — não basta subtrair os valores 11 do somatório; é preciso subtrair 11² de cada um na soma de quadrados.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de variância relativa, lembre-se sempre da relação $VR = CV^2$ . Quando houver alteração no conjunto de dados, recalcule todas as estatísticas (somatório, soma de quadrados, média e variância) antes de aplicar a fórmula final. Organize os passos em uma tabela para evitar erros:

Estatística	P₁	P₂
n	20	18
∑x	400	378
∑x²	8720	8478
Média	20	21
Variância	36	30
Variância relativa	36/400 = 9/100	30/441 = 10/147

Gabarito: letra A.