Matemática · FCC · 2021 | Questão sqc-fc061011

Progressão Aritmética: soma dos termos

Gabarito: letra D (26 km). As distâncias diárias formam uma progressão aritmética de razão 1, e a soma dos 9 termos é 198 km. Pela fórmula da soma da PA, o termo médio (5º dia) é 198 ÷ 9 = 22 km; como o último termo é o médio mais 4 razões, temos 22 + 4 = 26 km.

A questão é uma aplicação clássica de progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão ( $r$ ). Aqui, as distâncias diárias formam uma PA de razão $r = 1$ km, pois cada dia ele caminha 1 km a mais que o anterior. O total percorrido em 9 dias é a soma dos 9 primeiros termos dessa PA, igual a 198 km.

A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

onde $a_1$ é o primeiro termo, $a_n$ é o último e $n$ é o número de termos. Como $n = 9$ , temos:

198 = \frac{(a_1 + a_9) \cdot 9}{2} \Rightarrow a_1 + a_9 = 44

Além disso, o termo geral da PA é $a_n = a_1 + (n-1)r$ . Para $n = 9$ e $r = 1$ :

a_9 = a_1 + 8

Substituindo na equação da soma:

a_1 + (a_1 + 8) = 44 \Rightarrow 2a_1 + 8 = 44 \Rightarrow 2a_1 = 36 \Rightarrow a_1 = 18

Portanto, o último dia (9º termo) é:

a_9 = 18 + 8 = 26

Uma forma mais rápida: como a PA tem número ímpar de termos (9), o termo central (5º dia) é a média aritmética dos extremos e também a média da soma: $198 \div 9 = 22$ km. O 9º termo está 4 posições à frente do 5º, então $a_9 = 22 + 4 \cdot 1 = 26$ km.

Alternativa A — ❌ Incorreta

18 km é o valor do primeiro dia ( $a_1$ ), não do último. Quem erra aqui confunde o termo inicial com o termo final da PA.

Alternativa B — ❌ Incorreta

28 km não corresponde a nenhum termo da PA com $a_1 = 18$ e $r = 1$ (os termos vão de 18 a 26). É um distrator numérico sem vínculo direto com o problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

24 km seria o valor do 7º dia ( $a_7 = 18 + 6 = 24$ ), não do último. O candidato que conta as posições errado (considerando 6 acréscimos em vez de 8) cai nessa alternativa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

26 km é exatamente o valor do 9º termo da PA: $a_9 = a_1 + 8r = 18 + 8 \cdot 1 = 26$ km. Confere com a soma total de 198 km.

Alternativa E — ❌ Incorreta

22 km é o valor do 5º dia (termo central), que é a média diária (198 ÷ 9 = 22). Quem para na média e não soma as 4 razões até o último dia erra.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o termo central (média) e o último termo. Como a soma é 198 e são 9 dias, a média é 22 — mas o último dia não é 22, e sim 22 + 4 = 26. Outra armadilha é contar as razões errado: do 1º ao 9º dia são 8 acréscimos de 1 km, não 9. Fique atento a essas duas contagens!

PEGA ESSA DICA!

Em PA com número ímpar de termos, o termo central é a média da soma. Para achar o último termo, some ao termo central a razão multiplicada pela distância (em posições) até o final. Treine identificar rapidamente $a_1$ , $r$ e $n$ no enunciado — isso resolve a maioria das questões de PA.

Gabarito: letra D