Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062608

Geometria Plana: quadrados encaixados e razão de áreas

Gabarito: letra C. A área do quadrado XRYZ corresponde a 1/16 da área do quadrado ABCD. Isso porque, a cada etapa, o novo quadrado tem lado igual à metade do lado do quadrado anterior — e, como a área varia com o quadrado do lado, cada quadrado interno tem 1/4 da área do anterior. Assim, o quadrado XRYZ tem 1/4 da área do quadrado PBQR, que por sua vez tem 1/4 da área do quadrado ABCD, resultando em 1/16.

Vamos entender a construção. O quadrado ABCD tem lado $L$ . O ponto P é o ponto médio de AB, então $AP = PB = L/2$ . O ponto Q é o ponto médio de BC, então $BQ = QC = L/2$ . O quadrado PBQR é construído sobre os lados PB e BQ, portanto seu lado mede $L/2$ . Sua área é:

A_{PBQR} = \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{L^2}{4} = \frac{1}{4} A_{ABCD}

Agora, no quadrado PBQR, X é o ponto médio de QR e Y é o ponto médio de RP. O quadrado XRYZ é construído sobre os lados XR e RY, que são metades dos lados QR e RP do quadrado PBQR. Portanto, o lado do quadrado XRYZ mede metade do lado do quadrado PBQR, ou seja, $L/4$ . Sua área é:

A_{XRYZ} = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16} = \frac{1}{16} A_{ABCD}

A pegadinha clássica aqui é confundir a razão entre os lados com a razão entre as áreas. Se o lado é a metade, a área é a quarta parte — e não a metade. Além disso, é preciso perceber que a questão pede a área em relação ao quadrado ABCD, e não em relação ao quadrado PBQR. Se o aluno parar na primeira etapa, pode marcar 1/4 da área de ABCD (alternativa D) ou 1/8 (alternativa B), que são distratores.

Quadrados encaixados e razão de áreas — só Área ABCD: 1; só Área PBQR: 1/4; Área ABCD∩Área PBQR: 1/16

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a área do quadrado XRYZ é 1/16 da área do quadrado PBQR. Isso está errado: o quadrado XRYZ tem lado igual à metade do lado do quadrado PBQR, então sua área é 1/4 da área do PBQR, não 1/16. O valor 1/16 seria a razão entre a área do XRYZ e a área do ABCD, não do PBQR.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a área do quadrado XRYZ é 1/8 da área do quadrado ABCD. Esse valor não corresponde a nenhuma razão direta da construção. O quadrado XRYZ tem área 1/16 da área de ABCD, como calculado. O 1/8 poderia ser uma confusão com a razão entre os lados (1/4) elevada a algo errado, ou uma tentativa de somar as reduções (1/4 + 1/4 = 1/2, que não é o caso). Não há base geométrica para 1/8.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área do quadrado XRYZ é 1/16 da área do quadrado ABCD. Demonstramos: lado do XRYZ = L/4, área = (L/4)² = L²/16. Como a área de ABCD é L², a razão é 1/16. A alternativa está correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a área do quadrado XRYZ é 1/4 da área do quadrado ABCD. Esse seria o valor da área do quadrado PBQR em relação ao ABCD, não do XRYZ. O aluno que calcula apenas a primeira redução (lado L/2 → área L²/4) e não percebe que o XRYZ é um segundo nível de redução cai nessa alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a área do quadrado XRYZ é 1/8 da área do quadrado PBQR. Isso está errado: a área do XRYZ é 1/4 da área do PBQR, pois o lado é a metade. O valor 1/8 não tem correspondência na construção. Pode ser uma confusão com a razão entre os lados (1/2) elevada a 3, ou um erro de cálculo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de figuras encaixadas, sempre relacione os lados primeiro. Se um quadrado tem lado igual a $k$ vezes o lado de outro, sua área é $k^2$ vezes a área do outro. Aqui, o lado do XRYZ é 1/4 do lado do ABCD, então a área é (1/4)² = 1/16. Guarde essa relação: razão de áreas = (razão de lados)².

Gabarito: letra C