Em uma caixa há cinco cédulas, três de 50 reais e duas de 20 reais. Suponha que uma pessoa retira sem olhar duas cédulas da caixa, obtendo uma certa quantia. Note que a quantia pode ser obtida de mais de uma maneira, bastando trocar uma das cédulas por outra de mesmo valor. Nessas condições, é verdade que
Ahá tantas maneiras de obter 70 reais quanto de obter 100 reais.
Bhá mais maneiras de retirar a quantia de 100 reais do que a quantia de 70 reais.
Ca quantia de 100 reais pode ser obtida apenas de duas maneiras.
Dhá uma única maneira de retirar a quantia de 70 reais.
Ehá mais maneiras de obter a quantia de 70 reais do que a quantia de 100 reais.
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GabaritoE — há mais maneiras de obter a quantia de 70 reais do que a quantia de 100 reais.
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Probabilidade e Análise Combinatória: contagem de maneiras
Gabarito: letra E. Há mais maneiras de obter 70 reais (6 maneiras) do que de obter 100 reais (3 maneiras). A questão cobra a contagem de combinações de cédulas que resultam em cada quantia, considerando que as cédulas de mesmo valor são indistinguíveis — ou seja, o que importa é quantas cédulas de 50 e de 20 são retiradas, não quais cédulas específicas.
Vamos entender o problema. Temos 5 cédulas: 3 de R$ 50 e 2 de R$ 20. Retiramos 2 cédulas sem olhar. As quantias possíveis são:
R$ 70: uma cédula de 50 + uma de 20.
R$ 100: duas cédulas de 50.
R$ 40: duas cédulas de 20.
A pegadinha está em contar as "maneiras" de obter cada quantia. Como as cédulas de mesmo valor são idênticas para o resultado, o que importa é a combinação de valores, não a combinação de cédulas individuais. Vamos contar:
R$ 70: precisamos de 1 cédula de 50 e 1 de 20. Temos 3 opções de cédula de 50 e 2 de 20, totalizando maneiras.
R$ 100: precisamos de 2 cédulas de 50. Temos 3 cédulas de 50, e a combinação de 3 escolhe 2: maneiras.
R$ 40: precisamos de 2 cédulas de 20. Temos 2 cédulas de 20, e a combinação de 2 escolhe 2: maneira.
Portanto, 70 reais pode ser obtido de 6 maneiras, e 100 reais de 3 maneiras. Logo, há mais maneiras de obter 70 do que 100.
Quantia
Combinação de cédulas
Cálculo
Nº de maneiras
R$ 70
1 de 50 + 1 de 20
6
R$ 100
2 de 50
(C_{3,2} = 3)
3
R$ 40
2 de 20
(C_{2,2} = 1)
1
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que há tantas maneiras de obter 70 quanto de obter 100. Falso: são 6 e 3, respectivamente. A banca tenta igualar as quantidades, mas a contagem correta mostra a diferença.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que há mais maneiras de retirar 100 do que 70. É o contrário: 70 tem 6 maneiras, 100 tem 3. A banca inverte a relação.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que 100 reais pode ser obtido apenas de duas maneiras. Na verdade, são 3 maneiras (combinação de 3 cédulas de 50, duas a duas). O número 2 é um distrator: corresponde à quantidade de cédulas retiradas, não às maneiras.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que há uma única maneira de retirar 70 reais. Falso: são 6 maneiras (3 opções de 50 × 2 opções de 20). O número 1 é um distrator: seria o caso de retirar 40 reais (duas de 20).
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Confirma que há mais maneiras de obter 70 do que 100. Como calculado: 6 > 3. É a única alternativa que reflete a contagem correta.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre cédulas individuais e valores. O candidato pode pensar que, como há 3 cédulas de 50 e 2 de 20, as maneiras de obter 70 seriam apenas 1 (50+20) e as de 100 seriam 1 (50+50), esquecendo que cada cédula específica conta como uma maneira distinta. Aqui, a ordem não importa, mas a identidade das cédulas sim: trocar uma cédula de 50 por outra de 50 gera uma nova maneira de obter a mesma quantia.
PEGA ESSA DICA!
Para contar maneiras de obter uma quantia com cédulas, separe por combinação de valores e depois multiplique as quantidades de cada valor. Ex.: para 70 (1 de 50 + 1 de 20): . Para 100 (2 de 50): . Treine esse raciocínio: ele cai muito em provas de raciocínio lógico.