Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A mediana é 30, alternativa A..

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa o equilíbrio de um conjunto: soma-se todos os elementos e divide-se pela quantidade deles. Ela é sensível a valores extremos, pois cada número contribui igualmente para a soma. A mediana, por outro lado, é o valor que ocupa a posição central quando os dados são ordenados do menor para o maior; ela não é afetada por valores extremos, apenas pela ordem. Para um conjunto com quantidade ímpar de elementos, a mediana é exatamente o termo do meio; para quantidade par, é a média dos dois termos centrais. Nesta questão, precisamos primeiro descobrir o valor de k usando a média, depois ordenar todos os cinco números e identificar o termo central.

O que a questão dá

• números: 30, 20, 100, 70, k

• k é natural

• média = 50

O que queremos: a mediana do conjunto

Passo 1 — Montar a equação da média

A média é a soma dos valores dividida pela quantidade. Como conhecemos a média (50) e quatro dos cinco números, podemos montar uma equação para achar o k desconhecido.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética é soma dos elementos dividida pelo número de elementos. É a única relação que liga todos os valores à média dada.

De onde vem cada valor: $\bar{x}$ = enunciado: média = 50 · $30, 20, 100, 70$ = enunciado: números dados · $k$ = enunciado: número natural desconhecido · $5$ = enunciado: total de números

Passo 2 — Isolar e calcular k

Com a equação montada, precisamos resolver para descobrir o valor de k, que é necessário para completar o conjunto e depois ordená-lo.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar o denominador e depois subtraímos a soma conhecida para isolar k.

De onde vem cada valor: $50$ = passo 1: média · $5$ = passo 1: quantidade de números · $30, 20, 100, 70$ = enunciado: números dados

Passo 3 — Ordenar os números em rol crescente

A mediana exige que os dados estejam em ordem crescente. Agora que conhecemos todos os cinco números, podemos ordená-los do menor para o maior.

Passo 4 — Localizar o termo central

Com 5 elementos (número ímpar), a mediana é o valor que está exatamente no meio da sequência ordenada. Precisamos identificar qual posição é essa.

Por que esta fórmula: Para uma quantidade ímpar de elementos, a posição central é dada por (n+1)/2. Aqui n=5, então a posição é 3.

De onde vem cada valor: $n$ = passo 3: 5 elementos

Passo 5 — Ler o valor da 3ª posição

A mediana é o número que está na posição central do rol. Como já sabemos que é a 3ª posição, basta olhar o rol ordenado.

Resposta: A mediana é 30, alternativa A.