Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062928

Problema de divisão de conta: equação do 1º grau

Gabarito: letra D (12 participantes). Seja $n$ o número total de participantes. Inicialmente, cada um pagaria $\frac{780}{n}$ reais. Com a exclusão de 2 aniversariantes, os $n-2$ restantes pagariam $\frac{780}{n-2}$ reais, que é R$ 13,00 a mais. A equação $\frac{780}{n-2} = \frac{780}{n} + 13$ resolve-se para $n = 12$ .

O problema é um clássico de equação do 1º grau com frações, muito comum em concursos. A chave está em montar a relação entre o valor que cada um pagaria inicialmente e o valor que cada um pagará após a exclusão dos dois aniversariantes. A diferença entre esses valores é exatamente o acréscimo de R$ 13,00.

Vamos montar a equação passo a passo:

Valor inicial por pessoa: $\frac{780}{n}$
Valor após exclusão: $\frac{780}{n-2}$
Relação: $\frac{780}{n-2} = \frac{780}{n} + 13$

Resolvendo:

$\frac{780}{n-2} - \frac{780}{n} = 13$

$\frac{780n - 780(n-2)}{n(n-2)} = 13$

$\frac{780n - 780n + 1560}{n(n-2)} = 13$

$\frac{1560}{n(n-2)} = 13$

$1560 = 13n(n-2)$

$n(n-2) = 120$

$n^2 - 2n - 120 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau:

$n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} = \frac{2 \pm 22}{2}$

$n = 12$ ou $n = -10$ (descartado, pois número de pessoas é positivo).

Portanto, o número de participantes é 12.

n	Valor inicial (780/n)	Valor após exclusão (780/(n-2))	Acréscimo	Satisfaz R$ 13,00?
9	≈ 86,67	≈ 111,43	≈ 24,76	❌ Não
11	≈ 70,91	≈ 86,67	≈ 15,76	❌ Não
12	65,00	78,00	13,00	✅ Sim
14	≈ 55,71	65,00	≈ 9,29	❌ Não
15	52,00	60,00	8,00	❌ Não

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $n = 9$ , então inicialmente cada um pagaria $\frac{780}{9} \approx 86,67$ reais. Com a exclusão de 2, os 7 restantes pagariam $\frac{780}{7} \approx 111,43$ reais, um acréscimo de aproximadamente R$ 24,76, bem maior que R$ 13,00. O valor não satisfaz a equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se $n = 11$ , inicialmente cada um pagaria $\frac{780}{11} \approx 70,91$ reais. Com a exclusão de 2, os 9 restantes pagariam $\frac{780}{9} \approx 86,67$ reais, um acréscimo de aproximadamente R$ 15,76, ainda maior que R$ 13,00. Não satisfaz a equação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Se $n = 14$ , inicialmente cada um pagaria $\frac{780}{14} \approx 55,71$ reais. Com a exclusão de 2, os 12 restantes pagariam $\frac{780}{12} = 65,00$ reais, um acréscimo de aproximadamente R$ 9,29, menor que R$ 13,00. Não satisfaz a equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Se $n = 12$ , inicialmente cada um pagaria $\frac{780}{12} = 65,00$ reais. Com a exclusão de 2, os 10 restantes pagariam $\frac{780}{10} = 78,00$ reais, exatamente R$ 13,00 a mais. Satisfaz perfeitamente a condição do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $n = 15$ , inicialmente cada um pagaria $\frac{780}{15} = 52,00$ reais. Com a exclusão de 2, os 13 restantes pagariam $\frac{780}{13} = 60,00$ reais, um acréscimo de R$ 8,00, menor que R$ 13,00. Não satisfaz a equação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão da lógica: o candidato pode pensar que, ao excluir 2 pessoas, o valor pago por cada uma aumenta proporcionalmente ao número de excluídos, mas a relação não é linear. A pegadinha está em montar a equação corretamente: a diferença entre o novo valor e o antigo é R$ 13,00, e não o valor total dividido por algo. Outra armadilha comum é esquecer de que o número de pagantes após a exclusão é $n-2$ , e não $n$ .

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de divisão de conta com exclusão de participantes, monte sempre a equação com as frações: $\frac{Total}{n} + Acréscimo = \frac{Total}{n - Excluídos}$ . Resolva a equação do 2º grau resultante e descarte a raiz negativa. Pratique com variações: em vez de excluir, adicionar participantes (o acréscimo vira decréscimo).

Gabarito: letra D