Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062929

Média ponderada e razão entre grupos

Gabarito: letra C (razão 2). A média geral de 40 anos é a média ponderada entre as médias dos dois grupos (35 e 50 anos), com pesos dados pelo número de professores de cada disciplina. Montando a equação da média ponderada e resolvendo, obtém-se que o número de professores de Física é o dobro do de Matemática, ou seja, razão 2.

A questão combina dois conceitos: média aritmética ponderada e razão. A média geral de um conjunto formado por dois subgrupos é calculada ponderando as médias de cada subgrupo pelo respectivo número de elementos. Aqui, os "pesos" são as quantidades de professores de Física (F) e de Matemática (M).

A equação que traduz o enunciado é:

40 = \frac{35 \cdot F + 50 \cdot M}{F + M}

Multiplicando em cruz:

40(F + M) = 35F + 50M

40F + 40M = 35F + 50M

40F - 35F = 50M - 40M

5F = 10M

F = 2M

Portanto, a razão entre o número de professores de Física e o de Matemática é $F/M = 2$ .

A pegadinha clássica aqui é inverter a razão pedida: o candidato apressado pode calcular $M/F = 1/2$ e marcar uma alternativa que não existe, ou confundir a razão com a diferença entre as médias. A banca também explora o fato de que a média geral (40) está mais próxima da média de Física (35) do que da de Matemática (50), o que já indica que há mais professores de Física — mas só a equação confirma o valor exato.

Professores por disciplina — só Física: F; só Matemática: M; Física∩Matemática: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Razão 1 significaria $F = M$ , ou seja, o mesmo número de professores nas duas disciplinas. Nesse caso, a média geral seria a média aritmética simples entre 35 e 50, isto é, 42,5 anos — não 40. Portanto, a razão não pode ser 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Razão 3 indicaria $F = 3M$ . Substituindo na equação da média: $40 = (35 \cdot 3M + 50 \cdot M)/(3M + M) = (105M + 50M)/4M = 155M/4M = 38,75$ , que não é 40. Logo, a razão 3 não satisfaz a condição.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $F = 2M$ , logo a razão $F/M = 2$ . Confirma-se substituindo: com $F = 2M$ , a média geral é $(35 \cdot 2M + 50 \cdot M)/(2M + M) = (70M + 50M)/3M = 120M/3M = 40$ , exatamente o valor do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Razão 4 implicaria $F = 4M$ . A média geral seria $(35 \cdot 4M + 50 \cdot M)/(4M + M) = (140M + 50M)/5M = 190M/5M = 38$ , diferente de 40. Portanto, não é a resposta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Razão 5 daria $F = 5M$ , resultando em média $(35 \cdot 5M + 50 \cdot M)/(5M + M) = (175M + 50M)/6M = 225M/6M = 37,5$ , também distante de 40. Incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você perceba que a média geral (40) está mais próxima de 35 do que de 50, o que indica mais professores de Física. Mas não basta a intuição: é preciso montar a equação da média ponderada. O erro mais comum é inverter a razão (calcular $M/F$ em vez de $F/M$ ) ou tentar resolver por tentativa sem equacionar. Com a equação, a resposta sai direto: $F = 2M$ .

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de média ponderada com dois grupos, monte sempre a equação $\bar{x} = \frac{\bar{x}_1 \cdot n_1 + \bar{x}_2 \cdot n_2}{n_1 + n_2}$ e isole a razão pedida. Aqui, a equação reduziu a $5F = 10M$ , ou seja, $F/M = 2$ . Esse método vale para qualquer questão do tipo, inclusive com mais de dois grupos.

Gabarito: letra C