Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062931

Progressão Aritmética: soma dos termos de uma PA

Gabarito: letra D (190 estudantes). O número de cadeiras por fila forma uma progressão aritmética de razão 1 (10, 11, 12, ..., 29). Como apenas as filas ímpares (1ª, 3ª, ..., 19ª) são ocupadas, precisamos somar os termos de ordem ímpar dessa PA: 10 + 12 + 14 + ... + 28. Essa é uma nova PA com 10 termos, primeiro termo 10 e último 28, cuja soma é 190.

A questão combina dois conceitos: reconhecer a PA das cadeiras e selecionar apenas os termos de posição ímpar. Vamos por partes.

1. A PA das cadeiras:

1ª fila: 10 cadeiras
2ª fila: 11 cadeiras
...
20ª fila: 29 cadeiras

Isso é uma PA com primeiro termo $a_1 = 10$ , razão $r = 1$ e 20 termos. O termo geral é $a_n = 10 + (n-1) \cdot 1 = n + 9$ .

2. Filas ímpares: As filas ímpares são 1, 3, 5, ..., 19. São 10 filas (pois de 1 a 19, contando de 2 em 2, temos 10 números). Os termos correspondentes são:

$a_1 = 10$
$a_3 = 12$
$a_5 = 14$
...
$a_{19} = 28$

Esses valores formam uma nova PA: (10, 12, 14, ..., 28), com primeiro termo 10, último termo 28 e 10 termos.

3. Soma dos termos: A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dada por:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

Substituindo:

S_{10} = \frac{(10 + 28) \cdot 10}{2} = \frac{38 \cdot 10}{2} = \frac{380}{2} = 190

Portanto, 190 estudantes farão a prova.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você some apenas as filas ímpares, não todas as 20 filas. Se você somar todas as cadeiras (10 + 11 + ... + 29), o resultado seria 390, que não está nas alternativas — mas o candidato apressado pode tentar achar um valor próximo. Outra pegadinha é contar errado o número de filas ímpares: são 10, não 9 nem 11. Para não errar, liste mentalmente: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — são 10 filas.

Distribuição de estudantes por filas — só Filas ímpares: 190; só Filas pares: 200; Filas ímpares∩Filas pares: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

106 não corresponde a nenhuma soma parcial óbvia. Se o aluno somasse apenas as 5 primeiras filas ímpares (10+12+14+16+18 = 70) ou fizesse uma conta errada de termo geral, poderia chegar a um valor próximo, mas não há justificativa correta para 106.

Alternativa B — ❌ Incorreta

110 também não é resultado de nenhuma operação correta. Talvez o aluno tenha somado apenas as 10 filas ímpares, mas usando o primeiro termo como 11 (segunda fila) e último como 29, obtendo $\frac{(11+29)\cdot 10}{2} = 200$ , que não é 110. Ou pode ter contado apenas 5 filas ímpares e somado 10+12+14+16+18 = 70, que também não é 110.

Alternativa C — ❌ Incorreta

124 não tem relação com a soma correta. Pode ser resultado de uma confusão entre o número de filas (10) e a soma de alguns termos, ou de um erro de aritmética na fórmula da soma.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

190 é exatamente a soma dos termos de ordem ímpar da PA: $10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 = 190$ . A fórmula da soma confirma: $S = \frac{(10+28)\cdot 10}{2} = 190$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

158 não é resultado de nenhuma operação correta. Pode ser uma tentativa de somar apenas alguns termos ou um erro de cálculo na fórmula. Por exemplo, se o aluno usasse $n=9$ em vez de 10, teria $\frac{(10+28)\cdot 9}{2} = 171$ , que não é 158.

Gabarito: letra D