Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062940

Equação do 2º grau e números complexos

Gabarito: letra C. As duas soluções da equação quadrática que modela o problema de Cardano são $5 + \sqrt{-15}$ e $5 - \sqrt{-15}$ . Isso porque, se a soma dos números é 10 e o produto é 40, a equação é $x^2 - 10x + 40 = 0$ , cujas raízes, pela fórmula de Bhaskara, são $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 160}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{-60}}{2} = 5 \pm \sqrt{-15}$ .

O problema clássico de Cardano (1545) é o marco histórico do surgimento dos números imaginários: ele buscava dois números reais cuja soma fosse 10 e cujo produto fosse 40, mas o discriminante da equação resultante é negativo, o que o levou a operar com a raiz quadrada de um número negativo, algo que não existia no conjunto dos números reais. Hoje sabemos que essas soluções são números complexos, da forma $a + bi$ , com $i = \sqrt{-1}$ .

Para resolver, montamos o sistema:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x \cdot y = 40 \end{cases}

Da primeira equação, $y = 10 - x$ . Substituindo na segunda:

x(10 - x) = 40 \Rightarrow -x^2 + 10x - 40 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x + 40 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 160}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{-60}}{2}

Como $\sqrt{-60} = \sqrt{60} \cdot \sqrt{-1} = 2\sqrt{15} \cdot i$ , temos:

x = \frac{10 \pm 2\sqrt{15}i}{2} = 5 \pm \sqrt{15}i

E como $\sqrt{-15} = \sqrt{15}i$ , as raízes são $5 + \sqrt{-15}$ e $5 - \sqrt{-15}$ .

A pegadinha da banca está em manipular o sinal e o coeficiente: muitos candidatos erram ao montar a equação com o sinal trocado (usando $x^2 + 10x + 40 = 0$ ) ou ao simplificar incorretamente a raiz, obtendo $5 \pm \sqrt{-15}$ em vez de $5 \pm \sqrt{-15}$ (que é o correto). Note que a parte real é exatamente a metade da soma (10/2 = 5), e a parte imaginária é a raiz quadrada do módulo do discriminante dividido por 2.

Soluções da equação quadrática — só Soma 10: 5+√-15; só Produto 40: 5-√-15; Soma 10∩Produto 40: 10

Alternativa A — ❌ Incorreta

A parte real é 2,5, que seria a metade de 5, não de 10. Se a soma é 10, a média das raízes é 5, não 2,5. O erro está em dividir a soma por 4 em vez de por 2.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A parte real é -5, o que daria soma -10, não 10. O sinal está invertido: a equação correta é $x^2 - 10x + 40 = 0$ , com soma 10, e não $x^2 + 10x + 40 = 0$ , que teria soma -10.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, as raízes de $x^2 - 10x + 40 = 0$ são $5 + \sqrt{-15}$ e $5 - \sqrt{-15}$ . A parte real 5 é a metade da soma (10/2), e a parte imaginária $\sqrt{-15}$ vem de $\frac{\sqrt{-60}}{2} = \frac{2\sqrt{-15}}{2} = \sqrt{-15}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

A parte real é 10, o que daria soma 20, não 10. Confunde a soma com a própria raiz.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A parte real é 20, o que daria soma 40, não 10. Erro ainda mais grosseiro, provavelmente confundindo com o produto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a montagem da equação: se você inverter o sinal do coeficiente $b$ (usando $x^2 + 10x + 40 = 0$ ), as raízes viram $-5 \pm \sqrt{-15}$ (alternativa B). E se você errar a simplificação da raiz, pode achar que a parte imaginária é $\sqrt{-15}$ quando na verdade é $\sqrt{-15}$ — mas o correto é exatamente isso, então fique atento ao sinal da soma.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de soma e produto, monte sempre a equação $x^2 - Sx + P = 0$ , onde $S$ é a soma e $P$ é o produto. As raízes serão $\frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$ . Aqui, $S = 10$ e $P = 40$ , então $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 160}}{2} = 5 \pm \sqrt{-15}$ .

Gabarito: letra C