Questão de Matemática — Geometria Plana — FCC 2022

Aproximação de π pelo Papiro Rhind

Gabarito: letra E (3,16). O papiro Rhind afirma que a área do círculo é igual à área de um quadrado cujo lado mede $\frac{8}{9}$ do diâmetro. Igualando as duas áreas, obtemos $\pi \approx \left(\frac{16}{9}\right)^2 = \frac{256}{81} \approx 3,16049$, que arredondado para duas casas decimais é 3,16.

A questão explora a relação entre a área do círculo e a área do quadrado, um problema clássico conhecido como quadratura do círculo. A área do círculo é dada por $A_{círculo} = \pi r^2$, onde $r$ é o raio. Como o diâmetro $d = 2r$, podemos escrever a área como $A_{círculo} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Segundo o papiro, o lado do quadrado é $L = \frac{8}{9}d$. A área do quadrado é, portanto, $A_{quadrado} = L^2 = \left(\frac{8}{9}d\right)^2 = \frac{64}{81}d^2$.

Igualando as duas áreas:

Cancelando $d^2$ (já que $d \neq 0$) e isolando $\pi$:

Arredondando para duas casas decimais, observamos o terceiro algarismo decimal (0), que é menor que 5, então mantemos o segundo algarismo (6). Portanto, $\pi \approx 3,16$.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem se confundir e usar o raio em vez do diâmetro, ou esquecer de elevar ao quadrado o lado do quadrado. É fundamental lembrar que a área do círculo envolve o quadrado do raio, e a área do quadrado envolve o quadrado do lado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3,13 é menor que o valor correto. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $\frac{8}{9}$ do raio em vez do diâmetro, ou de um arredondamento incorreto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2,99 é significativamente menor que o correto. Esse número não corresponde a nenhuma aproximação histórica conhecida de $\pi$ e provavelmente resulta de um erro na montagem da equação, como inverter a fração ou usar a fórmula errada para a área do círculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3,15 é muito próximo do correto, mas não é o resultado exato. Ele pode surgir de um arredondamento incorreto de $\frac{256}{81} \approx 3,16049$ para baixo, ou de um pequeno erro de cálculo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 3,45 é bem maior que o correto. Esse número não corresponde a nenhuma aproximação histórica conhecida e provavelmente resulta de um erro na fórmula, como usar $\frac{9}{8}$ em vez de $\frac{8}{9}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 3,16 é o resultado correto. Como demonstrado, $\pi \approx \frac{256}{81} \approx 3,16049$, que arredondado para duas casas decimais é 3,16.

Gabarito: letra E