Um professor solicitou que seus alunos somassem todos os números de 1 a 100. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes, um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta 5050, que é a correta. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram, inclusive recebeu o apelido de Príncipe da Matemática.Caso o professor quisesse a soma de todos os números ímpares de 1 a 100, a resposta certa seria
A2525
B2401
C2450
D2550
E2500
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GabaritoE — 2500
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 2500 (alternativa E).
A ideia por trás
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão) ao anterior. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada de forma rápida usando a fórmula S_n = (a1 + an) * n / 2, que vem do fato de que a soma do primeiro com o último é igual à soma do segundo com o penúltimo, e assim por diante. Nesta questão, os números ímpares de 1 a 100 formam uma PA com razão 2, e precisamos descobrir quantos termos existem para aplicar a fórmula da soma.
O que a questão dá
números ímpares de 1 a 100
primeiro termo a1 = 1
último termo an = 99
razão r = 2
O que queremos: a soma de todos os números ímpares de 1 a 100
Passo 1 — Identificar a sequência de ímpares
Precisamos saber exatamente quais números vamos somar. Os ímpares de 1 a 100 são 1, 3, 5, ..., 99. O 100 não é ímpar, então o último termo é 99. Essa sequência é uma progressão aritmética (PA) porque cada termo é o anterior mais 2.
NÃO CAIA NESSA!
Incluir o 100 na sequência, achando que é ímpar.
Passo 2 — Descobrir quantos termos existem
Para somar os termos de uma PA, precisamos saber quantos termos há. O termo geral da PA é a_n = a_1 + (n-1)r. Aqui conhecemos o último termo (99), o primeiro (1) e a razão (2); vamos usar essa fórmula para achar n.
Por que esta fórmula: O termo geral relaciona a posição n com o valor do termo. É a fórmula certa porque temos o último termo e queremos o número de termos.
De onde vem cada valor: = enunciado: último ímpar antes de 100, que é 99 · = enunciado: primeiro ímpar, que é 1 · = enunciado: razão da PA, que é 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair 1 na fórmula, achando n = 50,5.
Passo 3 — Aplicar a fórmula da soma da PA
Com o número de termos (50) e o primeiro e último termos, podemos calcular a soma total. A fórmula da soma é S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, que funciona porque a soma do primeiro com o último é igual à soma do segundo com o penúltimo, e assim por diante.
Por que esta fórmula: É a fórmula padrão para somar os termos de uma PA. Não usamos outra porque temos o primeiro, o último e a quantidade de termos.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1 · = passo 1: 99 · = passo 2: 50
NÃO CAIA NESSA!
Usar n = 49 em vez de 50, ou inverter a ordem dos termos.