Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc062944

Análise Combinatória – Combinação Simples

Gabarito: letra A (6336). O número de grupos distintos é o produto das combinações de 7 rapazes escolhidos entre 12 e 7 moças escolhidas entre 8: $C_{12,7} \times C_{8,7} = 792 \times 8 = 6336$ . A questão exige o uso da combinação simples, pois a ordem dos alunos dentro do grupo não importa.

A análise combinatória é a parte da matemática que estuda a contagem de agrupamentos. Quando a ordem dos elementos não altera o grupo formado, usamos combinação. A fórmula da combinação simples é:

C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

No problema, temos dois subgrupos independentes: escolher 7 rapazes dentre 12 e escolher 7 moças dentre 8. Como as escolhas são feitas em conjunto (formar o grupo com rapazes e moças), aplicamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as duas combinações.

Vamos calcular:

Rapazes: $C_{12,7} = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$
Moças: $C_{8,7} = \frac{8!}{7!1!} = 8$

Total: $792 \times 8 = 6336$ .

A pegadinha clássica é usar arranjo (quando a ordem importa) ou esquecer de multiplicar as duas combinações. Aqui, a ordem dos alunos no grupo não importa, então é combinação. Além disso, o grupo é formado por 7 rapazes e 7 moças, o que exige o produto das escolhas.

Distribuição de grupos — só Rapazes: 792; só Moças: 8; Rapazes∩Moças: 6336

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é $C_{12,7} \times C_{8,7} = 792 \times 8 = 6336$ . A alternativa apresenta exatamente esse valor, resultado da aplicação da combinação simples e do princípio multiplicativo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 3168 é exatamente a metade de 6336. O candidato que chega a esse número provavelmente dividiu o resultado por 2, talvez por pensar que a ordem entre os grupos de rapazes e moças não importa (o que não é o caso, pois são grupos distintos). Não há justificativa combinatória para essa divisão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1056 é o resultado de $C_{12,7} \times 8$ dividido por 6, ou ainda $C_{12,7} \times C_{8,7} / 6$ . Não corresponde a nenhuma operação combinatória correta. Pode ter sido obtido por erro de cálculo ou por usar arranjo em vez de combinação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1026 é um distrator numérico sem relação direta com o cálculo. Não corresponde a nenhuma combinação ou arranjo simples dos dados do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 528 é o resultado de $C_{12,7} \times 8$ dividido por 12, ou ainda $C_{12,7} \times C_{8,7} / 12$ . Também não corresponde a nenhuma operação combinatória correta. Provavelmente foi obtido por erro de cálculo ou por usar arranjo em vez de combinação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre combinação e arranjo. Como a ordem dos alunos no grupo não importa, a resposta é combinação. Se o candidato usasse arranjo, obteria $A_{12,7} \times A_{8,7}$ , um número muito maior. Além disso, a banca pode induzir o candidato a somar as combinações em vez de multiplicar (princípio aditivo vs. multiplicativo). Lembre-se: quando o grupo é formado por rapazes e moças, multiplica-se; quando é uma escolha ou outra, soma-se.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar se é combinação ou arranjo, pergunte: "a ordem dos elementos muda o grupo?" Se não, é combinação. E para decidir entre somar e multiplicar, pergunte: "preciso escolher rapazes e moças?" Se sim, multiplica. Essa técnica resolve a maioria das questões de análise combinatória.

Gabarito: letra A