Questão de Matemática — Funções — FCC 2022

Função exponencial e logaritmos: tempo de dobramento

Gabarito: letra D. Para que a população dobre, temos $b = 2b_0$; substituindo na função $b = b_0 e^{kt}$ e aplicando logaritmo natural, obtemos $t = \frac{\ln 2}{k}$. A alternativa D apresenta exatamente essa expressão (com a grafia "In" no lugar de "ln", que é apenas uma variação de notação).

A questão trabalha com a função exponencial de crescimento populacional, um modelo clássico em que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho atual da população. O parâmetro $k$ (constante positiva) determina a velocidade desse crescimento: quanto maior $k$, mais rápido o crescimento. O objetivo é isolar o tempo $t$ necessário para que a população atinja o dobro do valor inicial.

O passo a passo é simples e direto:

1. Impor a condição de dobramento: $b = 2b_0$.

2. Substituir na função: $2b_0 = b_0 e^{kt}$.

3. Simplificar: dividindo ambos os lados por $b_0$ (que é positivo), obtemos $2 = e^{kt}$.

4. Aplicar o logaritmo natural (função inversa da exponencial): $\ln 2 = kt$.

5. Isolar $t$: $t = \frac{\ln 2}{k}$.

A pegadinha da banca está em inverter a posição de $k$ e $\ln 2$ nas alternativas, além de usar a grafia "In" (com i maiúsculo) para representar o logaritmo natural, o que pode confundir o candidato. É importante reconhecer que "In" aqui é apenas uma forma de escrever "ln" (logaritmo natural), e não uma variável diferente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $t = k \ln 2$, que é o inverso da expressão correta. Aqui, $k$ está no numerador e $\ln 2$ no denominador, quando deveria ser o contrário. Isso aconteceria se, ao isolar $t$, o candidato dividisse por $\ln 2$ em vez de por $k$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $t = \frac{\ln 2}{2k}$, com um fator 2 extra no denominador. Esse fator não tem justificativa algébrica: ao resolver $2 = e^{kt}$, o 2 já foi "consumido" ao aplicar o logaritmo ($\ln 2 = kt$), não devendo aparecer novamente. O candidato pode ter confundido o "dobro" com uma divisão por 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $t = \ln 2$, omitindo completamente a constante $k$. Isso só seria correto se $k = 1$, mas o enunciado afirma que $k$ é uma constante positiva qualquer, não necessariamente igual a 1. A resposta deve depender de $k$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $t = \frac{\ln 2}{k}$, que é exatamente o resultado obtido pelo isolamento de $t$ na equação $2 = e^{kt}$. A grafia "In" é apenas uma variação de "ln" (logaritmo natural), então a expressão é matematicamente idêntica à correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $t = \frac{k}{\ln 2}$, novamente com $k$ e $\ln 2$ invertidos em relação à resposta correta. É o mesmo erro da alternativa A, apenas com a divisão explícita.

Gabarito: letra D