Estatística · FCC · 2022 | Questão sqc-fc063584

Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida

Gabarito: letra E. O intervalo de confiança para a média com variância populacional conhecida é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . A partir do primeiro intervalo [19,51 ; 20,49] com n=36 e σ²=2,25, obtém-se o valor crítico $z_{\alpha/2}=1,96$ (nível de confiança de 95%). Aplicando esse mesmo valor crítico à segunda amostra (n=100, $\bar{x}=21$ ), o limite superior é $21 + 1,96 \cdot \frac{1,5}{10} = 21,294$ .

O problema envolve a construção de intervalos de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida. A fórmula geral é:

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

onde $\bar{x}$ é a média amostral, $\sigma$ é o desvio padrão populacional, $n$ é o tamanho da amostra e $z_{\alpha/2}$ é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado.

Passo 1: Determinar o valor crítico $z_{\alpha/2}$ a partir do primeiro intervalo.

O primeiro intervalo é [19,51 ; 20,49], com n=36 e σ²=2,25 (logo σ=1,5). A média amostral é o ponto médio do intervalo:

\bar{x}_1 = \frac{19,51 + 20,49}{2} = 20,00

A margem de erro é a metade da amplitude:

E_1 = \frac{20,49 - 19,51}{2} = 0,49

Pela fórmula da margem de erro:

E_1 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}} = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,5}{\sqrt{36}} = z_{\alpha/2} \cdot \frac{1,5}{6} = z_{\alpha/2} \cdot 0,25

Portanto:

z_{\alpha/2} = \frac{0,49}{0,25} = 1,96

Esse valor corresponde ao quantil da normal padrão para um nível de confiança de 95% (pois $P(|Z|>1,96)=0,05$ ).

Passo 2: Aplicar o mesmo valor crítico à segunda amostra.

A segunda amostra tem n=100 e média amostral $\bar{x}_2 = 21$ . O desvio padrão populacional é o mesmo (σ=1,5). A margem de erro é:

E_2 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n_2}} = 1,96 \cdot \frac{1,5}{\sqrt{100}} = 1,96 \cdot \frac{1,5}{10} = 1,96 \cdot 0,15 = 0,294

O limite superior do intervalo é:

LS = \bar{x}_2 + E_2 = 21 + 0,294 = 21,294

Portanto, o limite superior é 21,294, correspondente à alternativa E.

1Achar média do 1º IC
2Calcular margem E1
3Obter z = 1,96
4Aplicar z na 2ª amostra
5Limite superior = 21,294

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 21,706 resultaria de uma margem de erro de 0,706, que não corresponde a nenhum cálculo com os dados fornecidos. Se o candidato usasse $z=1,64$ (nível de 90%) e n=36, a margem seria $1,64 \cdot 0,25 = 0,41$ , e o limite superior seria 21,41 — ainda assim não 21,706. Esse valor não tem fundamento nos dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 21,490 corresponderia a uma margem de erro de 0,490. Isso ocorreria se o candidato usasse $z=1,96$ mas com n=36 (erro de usar o tamanho da primeira amostra na segunda): $1,96 \cdot \frac{1,5}{6} = 0,49$ , resultando em 21,49. A pegadinha é usar o n errado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 22,392 é absurdo, pois implicaria uma margem de erro de 1,392, muito maior que qualquer valor plausível. Provavelmente o candidato usou $z=1,96$ com n=100 mas multiplicou por σ em vez de σ/√n: $1,96 \cdot 1,5 = 2,94$ , e somou a 21, dando 23,94 — ainda assim não 22,392. Não há cálculo que produza esse número.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 21,510 corresponderia a uma margem de erro de 0,510. Isso ocorreria se o candidato usasse $z=1,96$ com n=36 (erro de usar o tamanho da primeira amostra) e ainda somasse incorretamente: $1,96 \cdot 0,25 = 0,49$ , mas 21+0,49=21,49, não 21,510. Esse valor não tem base nos dados.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, o limite superior é $21 + 1,96 \cdot \frac{1,5}{10} = 21 + 0,294 = 21,294$ . A alternativa reproduz exatamente o resultado do cálculo correto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os tamanhos das amostras. O candidato pode usar n=36 (da primeira amostra) na segunda, obtendo 21,49 (alternativa B), ou usar $z=1,64$ (nível de 90%) em vez de 1,96, obtendo 21,246 (que não está nas opções). A chave é perceber que o valor crítico é o mesmo para ambas as amostras, pois o nível de confiança é o mesmo — e que o tamanho da amostra muda a margem de erro.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de intervalo de confiança, identifique primeiro o valor crítico a partir de um intervalo dado (usando a margem de erro e o tamanho da amostra). Depois, aplique esse mesmo valor crítico à nova amostra, usando o novo tamanho. Lembre-se: a margem de erro é inversamente proporcional à raiz do tamanho da amostra — quanto maior a amostra, menor a margem.

Gabarito: letra E