Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc063585

Probabilidade com combinação: comissão com 1 ou 2 economistas

Gabarito: letra D (5/6). A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis (comissões com exatamente 1 ou exatamente 2 economistas) e o total de comissões possíveis de 3 funcionários entre os 10 do setor. Pelo princípio da contagem, há 100 comissões favoráveis e 120 possíveis, resultando em $\frac{100}{120} = \frac{5}{6}$ .

O problema mistura análise combinatória com probabilidade clássica. Como a ordem de escolha dos 3 membros não importa (todos farão a mesma tarefa), usamos combinação para contar os agrupamentos. O total de comissões possíveis é a combinação de 10 funcionários tomados 3 a 3: $C_{10,3} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = 120$ .

Os casos favoráveis são a união de dois eventos mutuamente excludentes:

1 economista e 2 não economistas: escolhemos 1 entre os 5 economistas ( $C_{5,1} = 5$ ) e 2 entre os 5 não economistas ( $C_{5,2} = 10$ ). Pelo princípio multiplicativo: $5 \times 10 = 50$ .
2 economistas e 1 não economista: escolhemos 2 entre os 5 economistas ( $C_{5,2} = 10$ ) e 1 entre os 5 não economistas ( $C_{5,1} = 5$ ). Pelo princípio multiplicativo: $10 \times 5 = 50$ .

Como os eventos são mutuamente excludentes (não dá para ter exatamente 1 e exatamente 2 economistas ao mesmo tempo), somamos: $50 + 50 = 100$ casos favoráveis. A probabilidade é $P = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}$ .

A pegadinha da banca está em contar os casos favoráveis sem usar combinação, tratando a ordem como relevante, ou em esquecer de somar os dois cenários (1 ou 2 economistas). Quem calcula apenas um dos cenários obtém $\frac{50}{120} = \frac{5}{12}$ , que não aparece nas alternativas — mas quem soma errado pode chegar a $\frac{3}{4}$ ou $\frac{2}{3}$ .

Comissão com economistas — só Comissão com 1 economista: 50; só Comissão com 2 economistas: 50; Comissão com 1 economista∩Comissão com 2 economistas: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

1/2 seria o resultado se os casos favoráveis fossem 60, o que ocorreria se considerássemos apenas um dos cenários (1 ou 2 economistas) e ainda assim de forma incorreta. Não há fundamento combinatório para esse valor: os casos favoráveis corretos são 100, não 60.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3/4 corresponderia a 90 casos favoráveis em 120. Esse número não decorre de nenhuma contagem correta: ou o candidato erra as combinações (por exemplo, usando arranjo em vez de combinação) ou soma os cenários de forma equivocada. O correto é 100 casos favoráveis.

Alternativa C — ❌ Incorreta

3/5 seria a probabilidade se houvesse 72 casos favoráveis. Esse valor não corresponde a nenhuma contagem válida. Provavelmente o candidato calculou apenas um cenário (50 casos) e dividiu por um total errado, ou usou raciocínio proporcional sem base combinatória.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

5/6 é exatamente $\frac{100}{120}$ , simplificado por 20. Os 100 casos favoráveis vêm da soma dos dois cenários mutuamente excludentes (1 economista + 2 não economistas = 50; 2 economistas + 1 não economista = 50), e o total de 120 vem de $C_{10,3}$ . A fração $\frac{100}{120}$ simplifica para $\frac{5}{6}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

2/3 corresponderia a 80 casos favoráveis em 120. Esse número não decorre de nenhuma contagem correta. Pode surgir de um erro como considerar que a probabilidade de cada economista ser escolhido é $\frac{1}{2}$ e aplicar isso de forma linear, ignorando a combinação.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a contagem errada dos casos favoráveis. O candidato tende a:

Esquecer de somar os dois cenários (1 ou 2 economistas), calculando apenas um deles e obtendo $\frac{50}{120} = \frac{5}{12}$ (que não está nas opções, mas leva a chutar).
Usar arranjo em vez de combinação, tratando a ordem como relevante, o que infla o total de casos possíveis e distorce a fração.
Aplicar probabilidade de forma linear (ex.: $\frac{5}{10} + \frac{5}{10}$ ), ignorando que a escolha é sem reposição e sem ordem.

Com treino, você reconhece que "escolher comissão" = combinação, e "1 ou 2" = soma de eventos mutuamente excludentes. 💪

PEGA ESSA DICA!

Para questões de probabilidade com "escolher um grupo", sempre use combinação quando a ordem não importar. Monte o espaço amostral com $C_{n,k}$ e os eventos favoráveis com o princípio multiplicativo (escolher os de um tipo E os de outro) e o princípio aditivo (somar os cenários OU). Aqui, o atalho é: total = $C_{10,3} = 120$ ; favoráveis = $C_{5,1} \times C_{5,2} + C_{5,2} \times C_{5,1} = 50 + 50 = 100$ ; probabilidade = $\frac{100}{120} = \frac{5}{6}$ .

Gabarito: letra D