Questão de Matemática — Estatística — FCC 2022

Estatística: coeficiente de variação e desvio padrão

Gabarito: letra A (0,15). A questão fornece o coeficiente de variação dos salários dos homens (4%), a soma dos quadrados dos salários de cada grupo e a igualdade das médias. Com esses dados, calcula-se o desvio padrão dos salários das mulheres usando a relação entre variância e soma dos quadrados: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$. O passo a passo completo está abaixo.

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, definida como o quociente entre o desvio padrão e a média: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$. Ele é adimensional e, por isso, permite comparar a variabilidade de conjuntos com médias diferentes. Nesta questão, o CV dos homens é 4% = 0,04, e a média dos salários é a mesma para homens e mulheres — essa igualdade é a chave para conectar os dois grupos.

A variância de uma população pode ser calculada pela fórmula $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$, onde $\sum x_i^2$ é a soma dos quadrados dos valores e $n$ é o tamanho da população. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

Vamos aos cálculos:

1. Número de empregados por sexo:

   • Homens: 60% de 250 = 150

   • Mulheres: 40% de 250 = 100

1. Média dos salários (igual para ambos):

   • Soma dos quadrados dos homens: $\sum x_h^2 = 3756,00$

   • Soma dos quadrados das mulheres: $\sum x_m^2 = 2502,25$

   • Variância dos homens: $\sigma_h^2 = \frac{3756}{150} - \bar{x}^2 = 25,04 - \bar{x}^2$

   • Variância das mulheres: $\sigma_m^2 = \frac{2502,25}{100} - \bar{x}^2 = 25,0225 - \bar{x}^2$

1. Usando o coeficiente de variação dos homens:

   • $CV_h = \frac{\sigma_h}{\bar{x}} = 0,04 \Rightarrow \sigma_h = 0,04 \bar{x}$

   • Elevando ao quadrado: $\sigma_h^2 = 0,0016 \bar{x}^2$

   • Igualando à expressão da variância dos homens: $25,04 - \bar{x}^2 = 0,0016 \bar{x}^2$

   • $25,04 = 1,0016 \bar{x}^2 \Rightarrow \bar{x}^2 = \frac{25,04}{1,0016} = 25$

   • Portanto, $\bar{x} = 5$ SM.

1. Desvio padrão das mulheres:

   • $\sigma_m^2 = 25,0225 - 25 = 0,0225$

   • $\sigma_m = \sqrt{0,0225} = 0,15$ SM.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O desvio padrão dos salários das mulheres é 0,15 SM, exatamente o valor calculado. A alternativa está correta porque aplica corretamente a fórmula da variância e o coeficiente de variação, chegando ao resultado esperado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,25 SM não corresponde ao desvio padrão das mulheres. Esse número poderia ser obtido se o aluno confundisse a variância com o desvio padrão (0,0225) ou se errasse a extração da raiz quadrada. Na verdade, $\sqrt{0,0225} = 0,15$, não 0,25.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,20 SM também está errado. Ele poderia surgir de um erro de arredondamento ou de uma confusão com o coeficiente de variação (0,04 × 5 = 0,20), mas isso seria o desvio padrão dos homens, não das mulheres. O desvio padrão das mulheres é 0,15 SM.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,16 SM não é o desvio padrão das mulheres. Esse número poderia ser obtido se o aluno calculasse a variância como 0,0256 (por exemplo, errando a divisão da soma dos quadrados) e extraísse a raiz. O correto é 0,15 SM.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,40 SM está bem acima do correto. Ele poderia resultar de um erro na determinação da média (por exemplo, $\bar{x} = 10$) ou de uma confusão entre os grupos. O desvio padrão das mulheres é 0,15 SM.

Gabarito: letra A