Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

Problema de porcentagem e equação do 1º grau

Gabarito: letra D (264). A questão combina porcentagens aplicadas a dois grupos distintos de enxadristas (os que já tinham vencido um torneio e os que nunca venceram) e usa o total de torneios vencidos (1127) para montar uma equação que determina o número de jogadores sem vitórias. A resolução exige organizar os dados em uma tabela e aplicar as porcentagens corretamente, evitando o erro de aplicar os percentuais sobre o total de 800 em vez de sobre cada subgrupo.

Vamos entender o problema passo a passo. Temos 800 enxadristas no total. No primeiro semestre, alguns já haviam vencido um único torneio (chamemos de grupo A) e os demais nunca venceram (grupo B). A soma dos dois grupos é 800. No segundo semestre, o grupo B (sem vitórias) teve 15% que venceram 3 torneios e 25% que venceram 1 torneio. Já o grupo A (que já tinha 1 vitória) teve 25% que não ganharam outros torneios, e entre os 75% restantes, 30% ganharam mais um torneio (totalizando 2) e 70% ganharam mais 2 torneios (totalizando 3). O total de torneios vencidos por todos é 1127. Precisamos descobrir quantos jogadores ainda não têm torneios vencidos, ou seja, quantos do grupo B não venceram nenhum torneio no segundo semestre (os 60% restantes de B).

A chave é montar a equação do total de torneios. Vamos chamar de $x$ o número de enxadristas que nunca venceram no primeiro semestre (grupo B). Então o grupo A tem $800 - x$ pessoas. Agora, calculamos quantos torneios cada subgrupo venceu no segundo semestre e somamos tudo, igualando a 1127.

Cálculo detalhado:

• Grupo B (nunca venceram): total de pessoas = $x$.

  • 15% venceram 3 torneios: $0,15x$ pessoas, cada uma com 3 torneios → contribuição: $3 \times 0,15x = 0,45x$.

  • 25% venceram 1 torneio: $0,25x$ pessoas, cada uma com 1 torneio → contribuição: $1 \times 0,25x = 0,25x$.

  • Os 60% restantes (100% - 15% - 25% = 60%) não venceram nenhum torneio → contribuição: 0.

  • Total de torneios do grupo B: $0,45x + 0,25x = 0,70x$.

• Grupo A (já tinham 1 vitória): total de pessoas = $800 - x$.

  • 25% não ganharam outros torneios: $0,25(800-x)$ pessoas, cada uma com 1 torneio (o que já tinham) → contribuição: $1 \times 0,25(800-x) = 0,25(800-x)$.

  • 75% ganharam mais torneios: $0,75(800-x)$ pessoas.

    • 30% desses ganharam mais 1 torneio → total de 2 torneios por pessoa. Número de pessoas: $0,30 \times 0,75(800-x) = 0,225(800-x)$. Contribuição: $2 \times 0,225(800-x) = 0,45(800-x)$.

    • 70% desses ganharam mais 2 torneios → total de 3 torneios por pessoa. Número de pessoas: $0,70 \times 0,75(800-x) = 0,525(800-x)$. Contribuição: $3 \times 0,525(800-x) = 1,575(800-x)$.

  • Total de torneios do grupo A: $0,25(800-x) + 0,45(800-x) + 1,575(800-x) = 2,275(800-x)$.

• Equação total: $0,70x + 2,275(800-x) = 1127$.

Resolvendo:

$0,70x + 1820 - 2,275x = 1127$

$-1,575x = 1127 - 1820$

$-1,575x = -693$

$x = \frac{693}{1,575} = 440$.

Portanto, o grupo B (nunca venceram no primeiro semestre) tem 440 pessoas. Dessas, 60% não venceram nenhum torneio no segundo semestre: $0,60 \times 440 = 264$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 222 não corresponde a nenhum cálculo direto. Provavelmente o candidato aplicou as porcentagens sobre o total de 800 de forma equivocada, ou errou na resolução da equação. Não há suporte para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 236 também não é resultado de nenhuma operação correta. Pode ter surgido de um erro de arredondamento ou de uma interpretação incorreta dos percentuais (por exemplo, considerar 25% de 800 como 200 e somar algo).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 250 é um distrator comum: pode vir de calcular 25% de 1000 (número que não aparece) ou de uma confusão entre os grupos. Não corresponde à solução da equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o número de enxadristas que nunca venceram torneio algum é 264. Esse valor é obtido corretamente ao montar a equação com as porcentagens aplicadas a cada subgrupo e resolver para $x$, encontrando 440 no grupo B e, em seguida, 60% de 440 = 264.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 278 é outro distrator. Pode ter sido obtido ao considerar 60% de um número errado (por exemplo, 60% de 463,33) ou ao errar na soma dos torneios. Não há base na resolução correta.

Gabarito: letra D