Matemática · FCC · 2022 | Questão sqc-fc063589

Razão e proporção: sistema de equações com razões

Gabarito: letra E. O total de veículos vendidos é 3150. A questão fornece duas razões (atendimentos/vendas) — uma para o total e outra para o grupo sem Pedro e Augusto — e a soma das vendas desses dois vendedores (270). Montando um sistema com as duas razões e a diferença, encontramos o total de vendas.

Vamos organizar os dados. Seja $A$ o número total de atendimentos e $V$ o número total de vendas de todos os 70 vendedores. A razão entre atendimentos e vendas é $\frac{24}{5}$ , logo:

\frac{A}{V} = \frac{24}{5} \Rightarrow A = \frac{24}{5}V

Pedro e Augusto efetuaram 270 vendas. Seja $A_{PA}$ o número de atendimentos feitos por eles. Retirando os números desses dois vendedores, a razão passa a ser $\frac{51}{10}$ :

\frac{A - A_{PA}}{V - 270} = \frac{51}{10}

Precisamos de outra relação entre $A_{PA}$ e $V$ . O enunciado diz que todos os vendedores atenderam um mesmo número de clientes. Isso significa que o número de atendimentos é proporcional ao número de vendedores. Como são 70 vendedores no total e Pedro e Augusto são 2 vendedores, a fração de atendimentos feita por eles é $\frac{2}{70} = \frac{1}{35}$ do total de atendimentos:

A_{PA} = \frac{1}{35}A

Substituindo $A = \frac{24}{5}V$ :

A_{PA} = \frac{1}{35} \cdot \frac{24}{5}V = \frac{24}{175}V

Agora substituímos na segunda razão:

\frac{\frac{24}{5}V - \frac{24}{175}V}{V - 270} = \frac{51}{10}

Calculando o numerador:

\frac{24}{5}V - \frac{24}{175}V = \frac{840 - 24}{175}V = \frac{816}{175}V

Então:

\frac{\frac{816}{175}V}{V - 270} = \frac{51}{10}

Multiplicando em cruz:

10 \cdot \frac{816}{175}V = 51(V - 270)

\frac{8160}{175}V = 51V - 13770

\frac{8160}{175}V - 51V = -13770

Colocando $V$ em evidência:

V\left(\frac{8160}{175} - 51\right) = -13770

\frac{8160 - 8925}{175}V = -13770

\frac{-765}{175}V = -13770

V = \frac{13770 \cdot 175}{765}

Simplificando: $13770 \div 765 = 18$ , então $V = 18 \cdot 175 = 3150$ .

Portanto, o total de veículos vendidos foi 3150.

Caso	Atribuição (V, A, A_PA)	Resultado
Alternativa A	V = 2870, A = 13776, A_PA = 393,6	Inviável (A_PA não inteiro)
Alternativa B	V = 2940, A = 14112, A_PA = 403,2	Inviável (A_PA não inteiro)
Alternativa C	V = 3010, A = 14448, A_PA = 412,8	Inviável (A_PA não inteiro)
Alternativa D	V = 3080, A = 14784, A_PA = 422,4	Inviável (A_PA não inteiro)
Alternativa E	V = 3150, A = 15120, A_PA = 432	Consistente (razão 51/10)

Alternativa A — ❌ Incorreta

2870 é um valor que não satisfaz as razões dadas. Se $V = 2870$ , então $A = \frac{24}{5} \cdot 2870 = 13776$ . Os atendimentos de Pedro e Augusto seriam $\frac{1}{35} \cdot 13776 = 393,6$ , o que não é inteiro — e o problema trabalha com números inteiros de atendimentos. Além disso, a razão após retirar os dois não seria $\frac{51}{10}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

2940 também não fecha o sistema. Com $V = 2940$ , $A = \frac{24}{5} \cdot 2940 = 14112$ , e $A_{PA} = \frac{1}{35} \cdot 14112 = 403,2$ , novamente não inteiro. A razão resultante não é $\frac{51}{10}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

3010: $A = \frac{24}{5} \cdot 3010 = 14448$ , $A_{PA} = \frac{1}{35} \cdot 14448 = 412,8$ — não inteiro. Não satisfaz as condições.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3080: $A = \frac{24}{5} \cdot 3080 = 14784$ , $A_{PA} = \frac{1}{35} \cdot 14784 = 422,4$ — não inteiro. Não satisfaz as condições.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $V = 3150$ , temos $A = \frac{24}{5} \cdot 3150 = 15120$ e $A_{PA} = \frac{1}{35} \cdot 15120 = 432$ . Retirando Pedro e Augusto: $A - A_{PA} = 15120 - 432 = 14688$ e $V - 270 = 3150 - 270 = 2880$ . A razão é $\frac{14688}{2880} = \frac{51}{10}$ , exatamente como pedido. Todos os valores são inteiros e consistentes.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a informação de que "todos os vendedores atenderam um mesmo número de clientes". Muitos candidatos tentam montar o sistema apenas com as duas razões, sem perceber que essa frase permite relacionar os atendimentos de Pedro e Augusto com o total: como são 2 entre 70 vendedores, eles atenderam $\frac{2}{70} = \frac{1}{35}$ do total de atendimentos. Sem essa relação, o sistema fica com duas equações e três incógnitas, e o candidato trava. Fique atento a essa "dica escondida" no enunciado!

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de razão e proporção com grupos e subgrupos, procure sempre uma relação extra entre as partes. Aqui, a igualdade de atendimentos por vendedor transforma a contagem de vendedores em uma proporção direta. Anote: "mesmo número por pessoa" = proporcionalidade direta entre quantidade de pessoas e total.

Gabarito: letra E