Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2022

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc063590
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ-PE
Ano
2022
Cargo
Auditor Fiscal do Tesouro Estadual - Conhecimentos Gerais
Ana e Paulo brincaram de correr em uma rua, que possui várias casas de um único lado, numeradas sequencialmente a partir do número 1, sendo a casa 1 a que está mais à esquerda e a casa com o maior número a que está mais à direita. Nessa brincadeira, avançar significa correr no sentido da última casa e voltar significa correr no sentido da casa de número 1. No início da brincadeira, as duas crianças estavam em frente à casa de número 1, quando começaram a correr, ao mesmo tempo e com a mesma velocidade, da seguinte maneira:Ana avançou até chegar à casa 6, depois voltou 2 casas, chegando à casa 4, voltou a avançar 5 casas, chegando à casa 9 e voltou 2 casas, chegando à casa de número 7. Ana continuou esse processo, avançando 5 casas e depois voltando 2 casas até chegar em frente à última casa da rua, quando parou de correr.Paulo avançou 7 casas, depois voltou 5 casas, depois avançou 7 casas, depois voltou 5 casas e continuou esse processo até que Ana parou de correr, momento em que ele também parou de correr.Se Ana avançou um total de 185 casas, no momento em que pararam de correr, Ana e Paulo estavam, respectivamente, em frente às casas de números:
  1. A110 e 40
  2. B114 e 48
  3. C116 e 52
  4. D120 e 66
  5. E124 e 72
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 114 e 48

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a Ana na casa 112 e Paulo na casa 71 — nenhuma alternativa corresponde. Verifique o enunciado..

A ideia por trás

Este é um problema de movimento com passos para frente e para trás. A posição final de quem anda assim não é a soma de tudo que andou, mas sim o deslocamento líquido: o quanto sobrou depois de descontar as voltas. Cada ciclo completo (avançar e voltar) tem um total de casas percorridas e um saldo de posição.

Se uma pessoa avança A casas e volta V casas, o total percorrido é A + V, mas o deslocamento líquido é A − V. Repetindo o ciclo n vezes, o total avançado é n·A e o deslocamento líquido é n·(A − V). A posição final é a inicial mais o deslocamento líquido.

Aqui, o total de avanços de Ana (185) é dado, e cada ciclo dela tem avanço de 5. Isso permite descobrir quantos ciclos ela fez e, com isso, o deslocamento líquido de cada um. Paulo faz o mesmo número de ciclos, então basta aplicar o mesmo raciocínio para ele.

O que a questão dá

  • posição inicial de Ana e Paulo: casa 1

  • padrão de Ana: avança 5 casas e volta 2, repetidamente

  • padrão de Paulo: avança 7 casas e volta 5, repetidamente

  • total de avanços de Ana: 185 casas

O que queremos: as casas em que Ana e Paulo param

Passo 1 — Contar os avanços do trecho inicial de Ana

Ana não começa direto no ciclo de 5 e 2: primeiro ela faz um trecho com avanços de 5, 5 e voltas de 2, 2. Para saber quantos ciclos completos ela repetiu depois, precisamos separar esse trecho inicial do restante.

Por que esta fórmula: O trecho inicial é: avançar 5 (até a casa 6), voltar 2, avançar 5, voltar 2. Os avanços somam 5 + 5 = 10.

Ainicial=5+5A_{inicial} = 5 + 5

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: segundo avanço de 5 casas

Ainicial=5+5=10 casasA_{inicial} = 5 + 5 = \boxed{10\ \text{casas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar o primeiro avanço de 5 casas (da casa 1 para a 6) e usar só o segundo.

Passo 2 — Calcular os avanços dos ciclos repetidos

O total de avanços de Ana é 185, e já sabemos que 10 deles foram no trecho inicial. O restante veio dos ciclos de avançar 5 e voltar 2.

Por que esta fórmula: Subtrair o trecho inicial do total: A_{ciclos} = 185 − 10.

Aciclos=185−AinicialA_{ciclos} = 185 - A_{inicial}

De onde vem cada valor: 185185 = enunciado: total de avanços de Ana · AinicialA_{inicial} = passo 1: 10

Aciclos=185−10=175 casasA_{ciclos} = 185 - 10 = \boxed{175\ \text{casas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 185 como se fosse o total de casas percorridas, mas é só o total de avanços.

Passo 3 — Descobrir quantos ciclos Ana repetiu

Cada ciclo de Ana tem um avanço de 5 casas. Com o total de avanços dos ciclos, dividimos para saber quantas vezes o ciclo se repetiu.

Por que esta fórmula: Número de ciclos = total de avanços dos ciclos ÷ avanço por ciclo.

n=Aciclos5n = \frac{A_{ciclos}}{5}

De onde vem cada valor: AciclosA_{ciclos} = passo 2: 175 · 55 = enunciado: Ana avança 5 casas por ciclo

n=1755=35 ciclosn = \frac{175}{5} = \boxed{35\ \text{ciclos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 185 por 5 e obter 37, ignorando o trecho inicial.

Passo 4 — Calcular o deslocamento líquido de Ana

Cada ciclo de Ana a desloca 3 casas para a frente (5 − 2). Com 35 ciclos, o deslocamento total é 35 × 3.

Por que esta fórmula: Deslocamento líquido por ciclo = avanço − volta = 5 − 2 = 3.

Δciclos=n×(5−2)\Delta_{ciclos} = n \times (5 - 2)

De onde vem cada valor: nn = passo 3: 35 · 55 = enunciado: avanço de Ana · 22 = enunciado: volta de Ana

Δciclos=35×3=105 casas\Delta_{ciclos} = 35 \times 3 = \boxed{105\ \text{casas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o total percorrido (7 por ciclo) em vez do deslocamento líquido (3).

Passo 5 — Achar a posição final de Ana

Ana começou na casa 1, fez o trecho inicial que a levou à casa 7, e depois os 35 ciclos a deslocaram 105 casas. Somamos tudo.

Por que esta fórmula: Posição final = posição inicial + deslocamento do trecho inicial + deslocamento dos ciclos. O trecho inicial a levou de 1 a 7, então o deslocamento inicial é 6.

PAna=1+6+ΔciclosP_{Ana} = 1 + 6 + \Delta_{ciclos}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: casa inicial · 66 = enunciado: da casa 1 à casa 7 (6 casas) · Δciclos\Delta_{ciclos} = passo 4: 105

PAna=1+6+105=112P_{Ana} = 1 + 6 + 105 = \boxed{112}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o deslocamento do trecho inicial e somar só 1 + 105 = 106.

Passo 6 — Calcular a posição final de Paulo

Paulo parou quando Ana parou, ou seja, ele também fez 35 ciclos completos. Cada ciclo dele avança 7 e volta 5, com deslocamento líquido de 2.

Por que esta fórmula: Deslocamento líquido de Paulo por ciclo = 7 − 5 = 2. Posição final = 1 + n × 2.

PPaulo=1+n×(7−5)P_{Paulo} = 1 + n \times (7 - 5)

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: casa inicial · nn = passo 3: 35 · 77 = enunciado: avanço de Paulo · 55 = enunciado: volta de Paulo

PPaulo=1+35×2=71P_{Paulo} = 1 + 35 \times 2 = \boxed{71}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o total percorrido (12 por ciclo) em vez do deslocamento líquido (2).

Resposta: Ana na casa 112 e Paulo na casa 71 — nenhuma alternativa corresponde. Verifique o enunciado.

Link permanente: /questoes/fc063590