Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 2.000,00 — alternativa B.

A ideia por trás

Uma equação de primeiro grau é uma igualdade que envolve uma incógnita (um valor desconhecido) e operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Resolver essa equação é descobrir qual número, colocado no lugar da incógnita, torna a igualdade verdadeira. Aqui, a incógnita é o número de amigos, e o preço do presente é uma expressão que depende dela.

A relação central é que o preço do presente pode ser escrito de duas maneiras diferentes, e essas duas expressões devem ser iguais. Na primeira rodada, o preço é o total arrecadado mais o que faltou: P = 150n + 350. Na segunda, o total arrecadado é 110% do preço, porque sobrou 10%: 200n = 1,1P. Igualar essas duas visões do mesmo preço é o que permite achar n e depois P.

Esta questão cobra a montagem de um sistema de duas equações a partir de um problema de vaquinha, e a substituição de uma equação na outra para resolver. O ponto crítico é interpretar corretamente o 'sobrou 10%' como 110% do preço, não 10%.

O que a questão dá

• primeira contribuição por pessoa = R$ 150,00

• faltou na primeira arrecadação = R$ 350,00

• segunda contribuição extra por pessoa = R$ 50,00

• sobra na segunda arrecadação = 10% do preço do presente

O que queremos: o preço do presente de casamento

Passo 1 — Expressar o preço pela primeira arrecadação

Precisamos de uma equação que relacione o preço com o número de amigos. Na primeira tentativa, cada um deu R$ 150,00 e faltaram R$ 350,00, então o preço é exatamente o que eles conseguiram juntar mais o que faltou.

Por que esta fórmula: Se n é o número de amigos, o total arrecadado na primeira rodada é 150n. Como faltaram 350 reais, o preço P é esse total mais 350.

De onde vem cada valor: $150$ = enunciado: cada um colaborou com R$ 150,00 · $n$ = definição: número de amigos · $350$ = enunciado: faltou R$ 350,00

Passo 2 — Expressar a segunda arrecadação como 110% do preço

A segunda rodada dá outra relação entre o total arrecadado e o preço. Cada um passou a contribuir com 150 + 50 = 200 reais, e o total arrecadado ficou 10% acima do preço, ou seja, 110% dele.

Por que esta fórmula: O total arrecadado na segunda rodada é 200n. 'Sobrou 10%' significa que esse total é o preço mais 10% do preço, isto é, 1,1 vezes o preço.

De onde vem cada valor: $200$ = passo 1: 150 + 50 = 200 · $n$ = definição: número de amigos · $1{,}1$ = enunciado: sobrou 10%, então arrecadado = 110% do preço

Passo 3 — Substituir a primeira equação na segunda

Temos duas equações com as mesmas incógnitas n e P. Para resolver, substituímos a expressão de P da primeira equação na segunda, ficando com uma equação só com n.

Por que esta fórmula: Como P = 150n + 350, trocamos P na equação 200n = 1,1P por essa expressão.

De onde vem cada valor: $200n$ = passo 2 · $1{,}1$ = passo 2 · $150n + 350$ = passo 1

Passo 4 — Isolar o número de amigos

Agora temos uma equação de primeiro grau só com n. Para descobrir quantos amigos são, precisamos deixar n sozinho de um lado.

Por que esta fórmula: Subtraímos 165n dos dois lados para juntar os termos com n, e depois dividimos pelo coeficiente 35.

De onde vem cada valor: $35$ = passo 3: 200n - 165n = 35n · $385$ = passo 3: 385 - 0 = 385

Passo 5 — Calcular o preço do presente

Com o número de amigos conhecido, voltamos à primeira equação para achar o preço.

Por que esta fórmula: Usamos P = 150n + 350, substituindo n por 11.

De onde vem cada valor: $150$ = passo 1 · $11$ = passo 4 · $350$ = passo 1

Resposta: R$ 2.000,00 — alternativa B