Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a BE = 32 — alternativa E.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são os comprimentos dos segmentos consecutivos entre os pontos A, B, C, D, E e F, que estão alinhados nessa ordem. A distância entre dois pontos quaisquer é a soma dos segmentos intermediários, então cada dado do enunciado vira uma equação de soma.

Se chamarmos os segmentos consecutivos de x1 = AB, x2 = BC, x3 = CD, x4 = DE e x5 = EF, então AC = x1 + x2, BD = x2 + x3, CE = x3 + x4, DF = x4 + x5 e AF = x1 + x2 + x3 + x4 + x5. Cada uma dessas igualdades é uma equação linear. Resolver o sistema é encontrar os valores de x1 a x5 que satisfazem todas ao mesmo tempo; depois, somamos os segmentos que compõem BE.

Esta questão pede BE = x2 + x3 + x4, mas não dá diretamente esses segmentos. É preciso montar o sistema com as cinco equações e resolvê-lo, isolando as incógnitas uma a uma.

O que a questão dá

• AF = 70

• AC = 24

• BD = 22

• CE = 24

• DF = 32

O que queremos: a medida do segmento BE

Passo 1 — Definir as incógnitas dos segmentos

Para transformar as distâncias dadas em equações, precisamos nomear os pedaços entre pontos consecutivos. Como os pontos estão em ordem, cada distância entre dois pontos é a soma dos pedaços que ficam entre eles.

Passo 2 — Montar as equações do sistema

Cada distância fornecida vira uma equação linear. Por exemplo, AC = 24 significa que a soma dos segmentos de A até C, que são x1 e x2, vale 24. Escrever todas as cinco equações é o que permite resolver o problema.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos é a soma dos segmentos consecutivos entre eles, então cada dado do enunciado se traduz diretamente em uma equação de soma.

De onde vem cada valor: $x_1$ = definição: segmento AB · $x_2$ = definição: segmento BC · $x_3$ = definição: segmento CD · $x_4$ = definição: segmento DE · $x_5$ = definição: segmento EF

Passo 3 — Expressar as incógnitas em função de x2

Com cinco equações e cinco incógnitas, podemos isolar todas em função de uma delas, por exemplo x2. Isso reduz o sistema a uma única equação com uma incógnita, que é mais fácil de resolver.

Por que esta fórmula: Das equações (2), (3), (4) e (5), isolamos x1, x3, x4 e x5 em termos de x2, usando as relações de soma.

De onde vem cada valor: $x_1$ = passo 2: equação x1 + x2 = 24 · $x_3$ = passo 2: equação x2 + x3 = 22 · $x_4$ = passo 2: equação x3 + x4 = 24, com x3 = 22 - x2 · $x_5$ = passo 2: equação x4 + x5 = 32, com x4 = 2 + x2

Passo 4 — Substituir na equação da soma total

A equação (1) envolve todos os segmentos, então substituindo as expressões do passo anterior nela, sobra apenas x2 como incógnita. Isso permite achar o valor de x2.

Por que esta fórmula: A soma de todos os segmentos é AF = 70, então substituímos cada x_i pela expressão em função de x2 e resolvemos a equação resultante.

De onde vem cada valor: $x_1$ = passo 3: 24 - x2 · $x_2$ = passo 3: x2 · $x_3$ = passo 3: 22 - x2 · $x_4$ = passo 3: 2 + x2 · $x_5$ = passo 3: 30 - x2

Passo 5 — Calcular os demais segmentos

Com x2 = 8, substituímos nas expressões do passo 3 para obter os valores de x1, x3, x4 e x5. Esses valores são necessários para calcular BE.

Por que esta fórmula: Usamos as relações já isoladas, agora com o valor numérico de x2.

De onde vem cada valor: $x_1$ = passo 3: 24 - x2, com x2 = 8 · $x_3$ = passo 3: 22 - x2, com x2 = 8 · $x_4$ = passo 3: 2 + x2, com x2 = 8 · $x_5$ = passo 3: 30 - x2, com x2 = 8

x1 = 16, x3 = 14, x4 = 10, x5 = 22

Passo 6 — Somar os segmentos de BE

BE é a distância entre B e E, que passa por C e D, então é a soma de BC, CD e DE, ou seja, x2 + x3 + x4. Agora que temos os valores, basta somar.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos é a soma dos segmentos intermediários, então BE = x2 + x3 + x4.

De onde vem cada valor: $x_2$ = passo 4: 8 · $x_3$ = passo 5: 14 · $x_4$ = passo 5: 10

Resposta: BE = 32 — alternativa E