Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 24 tentativas — alternativa E.

A ideia por trás

O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ferramenta para contar quantas combinações diferentes existem quando escolhemos uma opção de cada etapa. Se uma escolha tem m possibilidades e outra tem n, o total de combinações é m × n. Aqui, cada dígito da senha é uma etapa, e as restrições reduzem as opções de cada etapa.

A relação central é o produto das possibilidades de cada etapa independente. Quando uma etapa depende de outra, precisamos analisar os casos separadamente e somar os totais de cada caso. A condição 'b = 4a' limita a, e a condição 'd divide a e c' limita d e c.

Esta questão exige aplicar o PFC com restrições: primeiro determinar os valores possíveis de a e b, depois, para cada a, contar as possibilidades de c e d, e somar os totais.

O que a questão dá

• senha com 4 dígitos

• segundo dígito é o quádruplo do primeiro

• quarto dígito é divisor do primeiro e do terceiro

O que queremos: o número máximo de tentativas que João precisará fazer

Passo 1 — Listar os pares possíveis para o primeiro e segundo dígitos

A condição b = 4a é a mais restritiva e limita o primeiro dígito. Como b deve ser um dígito (0 a 9), a só pode ser 0, 1 ou 2, pois 4×3 = 12 já passa de 9. Precisamos listar esses pares para saber quantos casos analisar.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma análise direta da condição b = 4a, testando a = 0, 1, 2, ... até que 4a ultrapasse 9.

Pares possíveis: (0,0), (1,4), (2,8)

Passo 2 — Analisar o caso a = 0

Com a = 0, o quarto dígito d deve ser divisor de 0. Mas nenhum número divide 0 (exceto 0, que não é divisor de nada). Portanto, não existe d válido, e esse caso não gera senhas.

Passo 3 — Contar as senhas para a = 1

Com a = 1, o único divisor de 1 é 1, então d = 1. Como 1 divide qualquer número, c pode ser qualquer dígito de 0 a 9, dando 10 possibilidades. O total é 1 × 10 = 10.

Por que esta fórmula: Pelo PFC, multiplicamos as possibilidades de cada posição: d tem 1 opção, c tem 10.

De onde vem cada valor: $1$ = definição: divisor de 1 é apenas 1 · $10$ = definição: dígitos de 0 a 9

Passo 4 — Contar as senhas para a = 2, com d = 1

Com a = 2, os divisores de 2 são 1 e 2. Primeiro, se d = 1, ele divide qualquer c, então c tem 10 possibilidades (0 a 9).

Por que esta fórmula: PFC: d tem 1 opção, c tem 10.

De onde vem cada valor: $1$ = definição: divisor de 2 é 1 ou 2, e aqui escolhemos d = 1 · $10$ = definição: dígitos de 0 a 9

Passo 5 — Contar as senhas para a = 2, com d = 2

Se d = 2, ele deve dividir c, então c deve ser múltiplo de 2. Os múltiplos de 2 entre 0 e 9 são 0, 2, 4, 6, 8. Mas 2 não divide 0, então c = 0 é inválido. Restam 4 opções: 2, 4, 6, 8.

Por que esta fórmula: PFC: d tem 1 opção, c tem 4 opções.

De onde vem cada valor: $1$ = definição: divisor de 2 é 1 ou 2, e aqui escolhemos d = 2 · $4$ = definição: múltiplos de 2 entre 0 e 9, exceto 0

Passo 6 — Somar os totais de todos os casos

Os casos são mutuamente exclusivos, então o total de senhas é a soma dos totais de cada caso: 10 (a=1) + 10 (a=2, d=1) + 4 (a=2, d=2) = 24.

Por que esta fórmula: Princípio aditivo: quando as possibilidades se dividem em casos separados, somamos.

De onde vem cada valor: $10$ = passo 3 · $4$ = passo 5

Resposta: 24 tentativas — alternativa E