Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FCC 2024
Matemática›Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
fc146938
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
ASG(J Guararapes)
Em cada vértice de um quadrado é colocado um número natural e estritamente maior do que 0. Em seguida, cada lado recebe um número que é dado pelo produto dos números que foram colocados em seus vértices, como mostra a figura. Se a soma dos quatro produtos é 35, a soma dos números colocados nos vértices é
A10.
B12.
C35.
D34.
E25.
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GabaritoB — 12.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 12 — alternativa B.
A ideia por trás
Um quadrado tem quatro vértices e quatro lados. Aqui, cada vértice recebe um número natural positivo, e cada lado recebe o produto dos números dos dois vértices que ele liga. O problema dá a soma desses quatro produtos e pede a soma dos quatro números originais.
A soma dos produtos pode ser reescrita de um jeito que junta os termos: ab + bc + cd + da = b(a+c) + d(c+a) = (a+c)(b+d). Ou seja, a soma dos produtos é igual ao produto da soma dos vértices opostos. Isso só funciona porque os lados formam um ciclo fechado, então cada vértice aparece em dois produtos.
Esta questão cobra exatamente essa fatoração: transformar a soma dos produtos em um produto de duas somas. Depois, é só usar os divisores de 35 para achar as somas possíveis.
O que a questão dá
números nos vértices: a, b, c, d (naturais > 0)
produtos nos lados: ab, bc, cd, da
soma dos produtos = 35
O que queremos: a soma dos números colocados nos vértices (a + b + c + d)
Passo 1 — Escrever a soma dos produtos
Precisamos traduzir o enunciado em uma equação. Cada lado é o produto dos dois vértices que ele conecta, então a soma dos quatro lados é ab + bc + cd + da.
Por que esta fórmula: É a definição direta do problema: cada lado recebe o produto dos números dos vértices adjacentes.
De onde vem cada valor: = enunciado: números nos vértices · = enunciado: soma dos produtos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir um dos lados, como o lado da, e somar só três produtos.
Passo 2 — Fatorar a soma dos produtos
A equação do passo 1 tem quatro termos, mas queremos a soma a+b+c+d. Fatorar agrupa os termos de um jeito que essa soma aparece.
Por que esta fórmula: Agrupando os termos que têm a e c, e os que têm b e d, a expressão vira (a+c)(b+d). Isso é uma fatoração por agrupamento.
De onde vem cada valor: = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Tentar fatorar de outro jeito, como a(b+c) + d(b+c), que não leva à soma dos vértices.
Passo 3 — Igualar o produto à soma dada
Agora que a soma dos produtos virou um produto de duas somas, podemos usar o valor 35 do enunciado.
Por que esta fórmula: Do passo 1, a soma dos produtos é 35, e do passo 2, ela é (a+c)(b+d). Então essas duas expressões são iguais.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a soma dos produtos com a soma dos vértices e achar que a+b+c+d = 35.
Passo 4 — Listar os pares de fatores de 35
Como a, b, c, d são naturais positivos, as somas (a+c) e (b+d) também são naturais positivas. Então precisamos de dois números positivos cujo produto é 35.
Por que esta fórmula: Os divisores de 35 são 1, 5, 7 e 35. Os pares de fatores são (1,35) e (5,7).
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o par (1,35) e achar que só existe (5,7).
Passo 5 — Calcular a soma dos vértices para cada par
A soma dos vértices é (a+c) + (b+d). Para cada par de fatores, essa soma é a soma dos dois números do par.
Por que esta fórmula: Se (a+c) e (b+d) são os fatores, então a+b+c+d = (a+c) + (b+d).
De onde vem cada valor: = passo 4: um dos fatores · = passo 4: o outro fator
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar os fatores em vez de somá-los, achando 35.
Passo 6 — Escolher a soma que está nas alternativas
O problema pede a soma dos números nos vértices, e temos dois valores possíveis: 36 e 12. A alternativa correta é a que aparece nas opções.
Por que esta fórmula: As alternativas são 10, 12, 35, 34, 25. Apenas 12 está entre elas.
NÃO CAIA NESSA!
Escolher 36 sem conferir as alternativas, ou achar que 35 é a resposta por causa do enunciado.
