Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 6 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Aqui, o princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total de combinações é m × n. Também usamos a permutação, que conta as ordens possíveis de um conjunto: com 3 elementos, há 3! = 6 ordens.

Para maximizar a soma de números de dois algarismos, precisamos colocar os maiores algarismos nas dezenas, porque cada dezena vale 10 vezes o algarismo, e os menores nas unidades, que valem 1 vez. Assim, os algarismos das dezenas devem ser 4, 5 e 6, e os das unidades, 1, 2 e 3. A ordem entre os três números formados não importa, então contamos os conjuntos, não as sequências.

Esta questão cobra exatamente essa contagem: primeiro distribuir os algarismos das dezenas e das unidades, e depois descontar as ordens repetidas dos três números.

O que a questão dá

• algarismos disponíveis: 1, 2, 3, 4, 6

• cada algarismo usado uma única vez

• formar três números de dois algarismos

O que queremos: o número de maneiras de formar três números de dois algarismos cuja soma seja máxima

Passo 1 — Escolher os algarismos das dezenas

Para maximizar a soma, precisamos dar o maior peso possível aos algarismos grandes. Como cada dezena vale 10 vezes o algarismo, os três maiores (4, 5 e 6) devem ocupar as posições de dezena. Isso é o primeiro passo porque define a estrutura dos números.

Passo 2 — Escolher os algarismos das unidades

Depois de fixar as dezenas, os algarismos restantes (1, 2 e 3) vão para as unidades. Isso completa a formação dos números e garante que cada algarismo seja usado uma única vez.

Passo 3 — Contar as distribuições das dezenas

Agora que sabemos quais algarismos vão para as dezenas, precisamos contar de quantas maneiras podemos distribuí-los entre os três números. Isso é uma permutação dos três algarismos.

Por que esta fórmula: Permutação de 3 elementos: 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Cada ordem diferente dos algarismos nas dezenas gera números diferentes.

De onde vem cada valor: $3$ = definição: quantidade de algarismos das dezenas

Passo 4 — Contar as distribuições das unidades

Da mesma forma, os algarismos das unidades (1, 2 e 3) podem ser distribuídos de várias maneiras entre os três números. Isso é independente da distribuição das dezenas.

Por que esta fórmula: Também é uma permutação de 3 elementos: 3! = 6.

De onde vem cada valor: $3$ = definição: quantidade de algarismos das unidades

Passo 5 — Multiplicar as distribuições

Cada escolha de dezenas pode ser combinada com cada escolha de unidades, então o total de formações ordenadas é o produto das duas contagens.

Por que esta fórmula: Princípio multiplicativo: se há 6 maneiras para as dezenas e 6 para as unidades, o total é 6 × 6.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 4

$total_{ordenado}$ = 36 formações ordenadas

Passo 6 — Descontar as ordens repetidas

As 36 formações contam sequências como (41, 52, 63) e (52, 41, 63) como diferentes, mas o problema pede conjuntos de três números, onde a ordem não importa. Cada conjunto pode ser ordenado de 3! = 6 maneiras, então dividimos por 6.

Por que esta fórmula: Para corrigir a contagem, dividimos pelo número de permutações dos três números: 3! = 6.

De onde vem cada valor: $36$ = passo 5 · $3!$ = definição: permutação dos três números

Resposta: 6 maneiras — alternativa D