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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc146944
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
AGR ( )
Maria deve oferecer monitoria de Cálculo em 12 horas distribuídas pela semana de segunda-feira a sexta-feira. Ela deve trabalhar no mínimo duas horas por dia e sempre um número inteiro de horas. À quantidade de horários semanais distintos que ela pode organizar é
  1. A12.
  2. B5.
  3. C15.
  4. D10.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 15 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

Quando precisamos distribuir itens idênticos (como horas de trabalho) entre categorias distintas (como dias da semana), não usamos arranjo nem permutação, porque a ordem dentro de cada dia não importa — o que importa é quantas horas cada dia recebe. Esse tipo de contagem é chamado de combinação com repetição, e ele conta de quantas formas podemos escolher quantidades para cada categoria, permitindo que uma categoria receba vários itens ou nenhum.

A fórmula da combinação com repetição é CR(n, p) = C(n+p-1, p), onde n é o número de categorias e p é o número de itens a distribuir. Ela funciona porque transformamos o problema em escolher p posições entre n+p-1 possíveis, usando o artifício das barras e estrelas. Se aumentarmos o número de itens p, o número de distribuições cresce rapidamente; se aumentarmos o número de categorias n, também cresce, mas de forma mais suave. Essa fórmula vale quando os itens são idênticos e as categorias são distintas.

Aqui temos uma restrição: cada dia deve ter pelo menos 2 horas. A estratégia é separar a parte obrigatória da parte livre: primeiro garantimos o mínimo em cada dia, depois distribuímos o excedente livremente, o que vira uma combinação com repetição simples.

O que a questão dá

  • total de horas semanais = 12

  • dias úteis = 5 (segunda a sexta)

  • mínimo de horas por dia = 2

  • horas por dia devem ser inteiras

O que queremos: o número de maneiras distintas de distribuir as 12 horas entre os 5 dias, respeitando o mínimo de 2 horas por dia

Passo 1 — Garantir o mínimo de horas por dia

Antes de distribuir as horas, precisamos cumprir a regra de que cada dia tenha pelo menos 2 horas. Isso é uma obrigação fixa, então subtraímos essas horas do total para saber quanto sobra para distribuir livremente.

Por que esta fórmula: Multiplicamos o número de dias pelo mínimo diário para obter o total de horas já comprometidas.

horas_minimas=5×2horas\_minimas = 5 \times 2

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: dias úteis (segunda a sexta) · 22 = enunciado: mínimo de horas por dia

horas_minimas=5×2=10=10 horashoras\_minimas = 5 \times 2 = 10 = \boxed{10\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o mínimo e tentar distribuir as 12 horas diretamente, o que daria um número muito maior.

Passo 2 — Calcular as horas excedentes

Depois de garantir as 10 horas obrigatórias, o que sobra é o que podemos distribuir livremente entre os dias. Esse excedente é o que será contado nas combinações.

Por que esta fórmula: Subtraímos o total de horas pelo mínimo já alocado para saber quantas horas ainda podem ser distribuídas.

excedente=12−10excedente = 12 - 10

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: total de horas semanais · 1010 = passo 1: horas mínimas

excedente=12−10=2=2 horasexcedente = 12 - 10 = 2 = \boxed{2\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o excedente com o total de horas e usar 12 na combinação.

Passo 3 — Aplicar a combinação com repetição

Agora temos 2 horas idênticas para distribuir entre 5 dias distintos, e cada dia pode receber qualquer quantidade (inclusive 0). Isso é exatamente o caso da combinação com repetição, que conta todas as maneiras de fazer essa distribuição.

Por que esta fórmula: A fórmula CR(n, p) = C(n+p-1, p) é a ferramenta certa porque os itens (horas) são idênticos e as categorias (dias) são distintas. Aqui n = 5 (dias) e p = 2 (horas excedentes).

CR(5,2)=C(5+2−1,2)=C(6,2)CR(5, 2) = C(5+2-1, 2) = C(6, 2)

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: dias úteis · 22 = passo 2: horas excedentes

CR(5,2)=C(6,2)=6!2!⋅4!=6⋅52=15=15 maneirasCR(5, 2) = C(6, 2) = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 = \boxed{15\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo ou permutação, contando a ordem das horas dentro de cada dia, o que não faz sentido aqui.

Resposta: 15 maneiras — alternativa C

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