GabaritoB — 104,00.
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 104,00 — alternativa B.
Um sistema linear é um conjunto de equações em que as incógnitas aparecem com expoente 1, multiplicadas por números e somadas a um total. Aqui, as incógnitas são os preços de cada item: filé (f), salada (s) e refrigerante (r). Cada família gera uma equação que soma os produtos das quantidades pelos preços, igualando ao total gasto.
A sacada é que, quando somamos ou subtraímos equações de um sistema, a nova equação continua verdadeira. Isso permite combinar as equações para obter diretamente a expressão pedida, sem precisar achar cada preço separadamente. No caso, a diferença entre as duas equações, seguida de outra subtração, isola exatamente f + s + r.
Esta questão cobra a técnica de combinação linear: em vez de resolver o sistema completo, procuramos a operação entre as equações que entrega a soma pedida. O truque é subtrair as equações de forma que os coeficientes de f, s e r fiquem todos iguais a 1.
Família Santos: 3 filés, 2 saladas, 5 refrigerantes, gasto R$ 289,00
Família Silva: 5 filés, 3 saladas, 9 refrigerantes, gasto R$ 474,00
O que queremos: o valor de 1 filé + 1 salada + 1 refrigerante
Precisamos traduzir o problema em linguagem matemática. Cada família dá uma equação: a quantidade de cada item multiplicada pelo seu preço, somada, iguala o total gasto. Isso cria um sistema com duas equações e três incógnitas.
Por que esta fórmula: A equação linear representa o custo total: 3 filés custam 3f, 2 saladas custam 2s, 5 refrigerantes custam 5r, e a soma é 289. O mesmo para a outra família.
De onde vem cada valor: = enunciado: família Santos · = enunciado: gasto da família Santos · = enunciado: família Silva · = enunciado: gasto da família Silva
Trocar as quantidades entre as famílias, montando as equações invertidas.
Queremos uma combinação que resulte em f + s + r. Subtrair as equações reduz os coeficientes e nos aproxima disso. Subtraímos termo a termo: 5f - 3f = 2f, 3s - 2s = 1s, 9r - 5r = 4r, e 474 - 289 = 185.
Por que esta fórmula: A subtração de equações é válida porque ambas são igualdades verdadeiras; subtrair os lados correspondentes mantém a igualdade. Isso é o método da adição.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5f - 3f · = passo 1: 3s - 2s · = passo 1: 9r - 5r · = passo 1: 474 - 289
Subtrair na ordem errada (primeira menos segunda) e errar os sinais.
A equação do passo 2 ainda não é f + s + r. Subtraindo a primeira equação original dela, os coeficientes viram -1, -1, -1, que é exatamente o negativo da soma que queremos.
Por que esta fórmula: Subtrair equações novamente é válido e nos aproxima do alvo. A operação é: (2f - 3f) + (s - 2s) + (4r - 5r) = 185 - 289.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2f - 3f · = passo 2: s - 2s · = passo 2: 4r - 5r · = passo 2: 185 - 289
Errar a subtração 185 - 289, que dá -104, e não -114 ou outro valor.
A equação do passo 3 tem o sinal trocado. Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos f + s + r = 104, que é exatamente o que a questão pede.
Por que esta fórmula: Multiplicar uma equação por uma constante não altera a igualdade; é uma operação válida. Aqui, -1 inverte os sinais.
De onde vem cada valor: = passo 3: multiplicar -f - s - r por -1 · = passo 3: multiplicar -104 por -1
R$ 104,00
Esquecer de multiplicar o lado direito também, ficando com -104.
Resposta: R$ 104,00 — alternativa B
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