Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc146949
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
Ana S (J Guararapes)
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 pode-se formar números de quatro algarismos, sem repeti-los, que são múltiplos de 3 e de 5 ao mesmo tempo. A quantidade de números que seguem essas regras é
A1.
B5.
C6.
D4.
E2.
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GabaritoC — 6.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 6 números — alternativa C.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem é a ferramenta básica da análise combinatória: quando uma tarefa pode ser dividida em etapas sucessivas, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, as etapas são as posições do número (unidade, dezena, centena, milhar), mas com restrições que precisam ser analisadas antes de multiplicar.
Para um número ser múltiplo de 5, ele deve terminar em 0 ou 5. Para ser múltiplo de 3, a soma de seus algarismos deve ser múltipla de 3. Esses critérios são independentes, então precisamos aplicar os dois. A ordem dos algarismos nas posições restantes é contada por permutações: se temos n algarismos distintos para preencher n posições, o número de arranjos é n! (fatorial de n).
Esta questão cobra a aplicação conjunta dos critérios de divisibilidade e do princípio fundamental da contagem. Precisamos primeiro fixar a unidade (por causa do 5) e depois escolher e ordenar os algarismos restantes de modo que a soma total seja múltipla de 3.
O que a questão dá
algarismos disponíveis: 1, 2, 3, 4, 5
números de quatro algarismos
sem repetição de algarismos
múltiplos de 3 e de 5 ao mesmo tempo
O que queremos: a quantidade de números que satisfazem as regras
Passo 1 — Fixar o último algarismo
Para ser múltiplo de 5, o número deve terminar em 0 ou 5. Como o 0 não está disponível, a unidade obrigatoriamente é 5. Isso já fixa uma posição e reduz o problema.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o 0 não está disponível e considerar que a unidade poderia ser 0, o que mudaria toda a contagem.
Passo 2 — Listar as combinações possíveis
Com a unidade fixada em 5, precisamos escolher 3 algarismos dentre {1, 2, 3, 4} para as outras posições. Mas não basta escolher: a soma dos algarismos do número inteiro (incluindo o 5) deve ser múltipla de 3. Vamos testar cada combinação de 3 algarismos.
Por que esta fórmula: O critério de divisibilidade por 3 exige que a soma de todos os algarismos seja múltipla de 3. Como a unidade é 5, a soma dos três primeiros mais 5 deve ser múltipla de 3.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o 5 na soma, testando apenas a soma dos três primeiros algarismos.
Passo 3 — Contar as permutações dos três algarismos
Com os algarismos {1, 2, 4} escolhidos para as três primeiras posições, podemos ordená-los de várias maneiras. Cada ordem diferente gera um número diferente. O número de ordens possíveis é o número de permutações de 3 elementos.
Por que esta fórmula: Permutação de n elementos distintos: n! = n × (n-1) × ... × 1. Aqui, n = 3, então 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
De onde vem cada valor: = quantidade de algarismos escolhidos no passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas uma ordem (ex.: 1245) e esquecer das outras permutações.