Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 11 números — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher ou organizar elementos, sem precisar listar um por um. Aqui, o princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total de combinações é m × n. Mas, quando há uma condição extra — como a média ser 2 —, precisamos primeiro traduzir essa condição em uma relação entre os algarismos.

A média de dois números a e b é (a+b)/2. Se essa média é 2, então a+b = 4. Isso significa que os dois algarismos que não são o 2 devem somar 4. Os pares possíveis são (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e (4,0). Cada par pode ser colocado nas duas posições restantes, mas quando os dois são iguais (2 e 2), só há uma ordem. Além disso, o número precisa ter 3 algarismos, então o primeiro algarismo (centena) não pode ser zero.

Esta questão pede para contar os números que satisfazem a condição da média, mas com uma pegadinha: o zero não pode ocupar a centena. Vamos separar a contagem conforme a posição do algarismo 2 e depois excluir os casos inválidos.

O que a questão dá

• média fixada: 2

• números de 3 algarismos

• algarismos de 0 a 9

O que queremos: quantos números de 3 algarismos têm 2 como média dos outros dois algarismos

Passo 1 — Listar os pares que somam 4

A condição '2 é a média' significa que os outros dois algarismos, somados, dão 4. Precisamos saber quais pares de algarismos (de 0 a 9) satisfazem isso, pois eles serão usados nas posições restantes.

Por que esta fórmula: A média de a e b é (a+b)/2. Igualando a 2, temos a+b = 4. Os pares ordenados possíveis são (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e (4,0).

De onde vem cada valor: $a$ = definição: um dos algarismos restantes · $b$ = definição: o outro algarismo restante

Passo 2 — Contar com o 2 na centena

Vamos analisar cada posição do algarismo 2 separadamente. Quando o 2 é a centena, o número tem a forma 2xy, e x e y podem ser qualquer par da lista, inclusive com zero, pois a centena já é 2.

Por que esta fórmula: Para cada par (x,y), temos uma ordem: (x,y) e (y,x), exceto quando x=y, que só dá uma ordem. Então contamos: (0,4) e (4,0) → 2 números; (1,3) e (3,1) → 2 números; (2,2) → 1 número. Total 5.

Passo 3 — Contar com o 2 na dezena

Agora o número é x2y, e x é a centena, então x não pode ser 0. Isso elimina o par (0,4).

Por que esta fórmula: Dos 5 pares, excluímos (0,4). Restam (1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Contamos: (1,3) e (3,1) → 2; (2,2) → 1; (4,0) → 1. Total 4.

Passo 4 — Contar com o 2 na unidade

O número é xy2, e x é a centena, então x não pode ser 0. Novamente excluímos (0,4).

Por que esta fórmula: Mesma lógica: restam (1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Contamos: (1,3) e (3,1) → 2; (2,2) → 1; (4,0) → 1. Total 4.

Passo 5 — Somar e corrigir repetições

Somamos os totais dos três casos, mas o número 222 foi contado três vezes (uma em cada posição do 2). Como ele é um único número, precisamos subtrair as duas contagens a mais.

Por que esta fórmula: Total bruto = 5 + 4 + 4 = 13. O 222 aparece 3 vezes, mas deveria aparecer 1, então subtraímos 2: 13 - 2 = 11.

De onde vem cada valor: $13$ = passo 2, passo 3 e passo 4: soma dos totais · $2$ = constante: repetições do 222

Resposta: 11 números — alternativa D