Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 20,00 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, com as mesmas incógnitas. Aqui, cada etapa do dia do pipoqueiro vira uma equação: o caixa inicial, somado ao que ele ganha vendendo pipocas e menos o troco que paga, resulta no saldo final. Resolver o sistema é achar os valores que fazem as duas contas baterem.

Cada equação tem a forma: caixa inicial + (preço do saco × quantidade vendida) − troco = saldo. Se o preço do saco aumenta, o saldo final cresce na mesma proporção; se o troco aumenta, o saldo diminui. A segunda equação usa o saldo da primeira como ponto de partida, porque o caixa já tinha evoluído — é isso que liga as duas etapas.

Esta questão cobra a montagem correta do sistema: a pegadinha é usar o caixa inicial na segunda equação, quando na verdade deve-se usar o saldo intermediário de R$ 97,00. Perceber isso é o passo decisivo.

O que a questão dá

• após vender 7 sacos e pagar R$ 14,00 de troco, o caixa ficou com R$ 97,00

• depois vendeu mais 12 sacos, pagou R$ 8,00 de troco e o caixa ficou com R$ 245,00

O que queremos: o valor que havia no caixa no início do dia

Passo 1 — Definir as incógnitas do problema

Antes de montar qualquer equação, precisamos nomear o que não sabemos: o valor inicial no caixa e o preço de cada saco de pipoca. Sem nomes, não há como escrever as contas.

Passo 2 — Montar a equação da primeira venda

A primeira etapa do dia é uma equação independente: o caixa inicial, mais o dinheiro das 7 pipocas, menos o troco, resulta em R$ 97,00. É a primeira peça do sistema.

Por que esta fórmula: A estrutura é sempre 'saldo final = saldo anterior + receita − despesa'. Aqui, a receita é 7p (7 sacos vezes o preço) e a despesa é o troco de R$ 14,00.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: caixa inicial · $7p$ = enunciado: vendeu 7 sacos, cada um custa p · $14$ = enunciado: pagou R$ 14,00 de troco · $97$ = enunciado: caixa ficou com R$ 97,00

Passo 3 — Montar a equação da segunda venda

A segunda etapa começa com o caixa já em R$ 97,00, não com o valor inicial. Usar x aqui é o erro clássico. A equação deve refletir o saldo que existia antes dessa venda.

Por que esta fórmula: Mesma estrutura: saldo final = saldo anterior + receita − despesa. O saldo anterior é 97, a receita é 12p, a despesa é 8, e o saldo final é 245.

De onde vem cada valor: $97$ = enunciado: caixa após a primeira venda · $12p$ = enunciado: vendeu mais 12 sacos · $8$ = enunciado: pagou R$ 8,00 de troco · $245$ = enunciado: caixa final

Passo 4 — Calcular o preço do saco de pipoca

A segunda equação tem só uma incógnita, p, então dá para resolvê-la direto. Isolar p revela quanto custa cada saco.

Por que esta fórmula: A equação 12p + 89 = 245 é linear; subtraímos 89 dos dois lados e dividimos por 12 para isolar p.

De onde vem cada valor: $245$ = passo 3: saldo final · $89$ = passo 3: 97 - 8 · $12$ = passo 3: quantidade de sacos

Passo 5 — Calcular o caixa inicial

Com o preço do saco conhecido, a primeira equação fica com uma única incógnita, x. Substituímos p e isolamos x.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, x + 7p = 111; com p = 13, temos x + 91 = 111, então x = 20.

De onde vem cada valor: $111$ = passo 2: x + 7p = 111 · $7p$ = passo 4: 7 × 13 = 91

Resposta: R$ 20,00 — alternativa C