Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FCC 2024
Matemática›Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fc146957
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
Ass SP ( )
Uma fábrica produz sacos de balas com menos do que 180 balas. As balas dos sacos podem ser divididas Igualmente por 2, por 3, por 4 ou per 7 crianças, mas não por 9, pois para Isso ser possível faltariam 3 balas. O número de balas no pacote é
A154.
B162.
C148.
D171.
E168.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoE — 168.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 168 balas — alternativa E.
A ideia por trás
Divisibilidade é a propriedade de um número ser dividido por outro sem sobrar resto. Dizer que as balas podem ser divididas igualmente por 2, 3, 4 ou 7 crianças significa que o total é múltiplo de cada um desses números. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número que é múltiplo de todos eles, e qualquer múltiplo do MMC também é múltiplo de todos.
Para achar o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Aqui, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2², 7 = 7, então MMC = 2² × 3 × 7 = 84. O número procurado deve ser um múltiplo de 84, mas menor que 180, então só pode ser 84 ou 168. A condição extra sobre o 9 vai decidir qual.
A frase 'não por 9, pois faltariam 3 balas' significa que o número é 3 unidades menor que um múltiplo de 9. Vamos testar os dois candidatos para ver qual satisfaz isso.
O que a questão dá
número de balas < 180
divisível por 2, 3, 4 e 7
não divisível por 9, faltando 3 balas
O que queremos: o número de balas no pacote
Passo 1 — Calcular o MMC de 2, 3, 4 e 7
Para que as balas possam ser divididas igualmente por 2, 3, 4 e 7, o total precisa ser múltiplo de todos eles. O MMC nos dá o menor número que é múltiplo de todos, e qualquer múltiplo dele também serve.
Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com os maiores expoentes. Fatoramos cada número: 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2², 7 = 7. Pegamos 2² (por causa do 4), 3 e 7.
De onde vem cada valor: = definição: fatoração de 4 · = definição: fatoração de 3 · = definição: fatoração de 7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que 4 já contém o fator 2² e contar 2 duas vezes, achando MMC = 2×2×3×7 = 84 também, mas cuidado para não contar 2 três vezes.
Passo 2 — Listar os múltiplos de 84 menores que 180
O número de balas deve ser múltiplo de 84 e menor que 180. Os únicos múltiplos de 84 nessa faixa são 84 e 168. Vamos testar os dois.
Por que esta fórmula: Múltiplos de 84 são 84×1, 84×2, 84×3, ... Como 84×3 = 252 > 180, só interessam 84 e 168.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: menos do que 180 balas
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o 84 e ir direto para 168, ou incluir 252 que é maior que 180.
Passo 3 — Testar a condição do 9 em cada candidato
A condição 'não por 9, pois faltariam 3 balas' significa que, se tivéssemos 3 balas a mais, o número seria divisível por 9. Ou seja, o número é 3 unidades menor que um múltiplo de 9. Vamos ver qual dos dois candidatos satisfaz isso.
Por que esta fórmula: Para testar, dividimos cada candidato por 9 e vemos o resto. Se o resto for 6, então faltam 3 para o próximo múltiplo de 9 (porque 9 - 6 = 3).
De onde vem cada valor: = candidatos do passo 2: 84 e 168
= 168 tem resto 6, então faltam 3 balas
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o resto com o que falta: para 84, resto 3 significa que faltam 6 para 90, não 3.