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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FCC 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fc146961
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
Ass SP ( )
O professor de educação física divide os alunos de uma turma em equipes de 7 alunos cada uma e não sobra nenhum aluno, mas quando divide essa mesma turma em equipes de 3 ou de 4 ou de 6 alunos sempre sobra 1 aluno. Considere o menor número de alunos em uma turma que satisfaz essas divisões por equipes. A soma dos algarismos do menor número de alunos dessa turma é
  1. A14.
  2. B11.
  3. C12.
  4. D13.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 13 (alternativa D).

A ideia por trás

Quando um número é dividido por outro e sobra um resto, dizemos que ele é congruente a esse resto módulo o divisor. Aqui, o número de alunos N deixa resto 1 ao ser dividido por 3, 4 e 6, o que significa que N − 1 é divisível por esses três números ao mesmo tempo, ou seja, é um múltiplo comum deles. O menor múltiplo comum é o MMC, que é o menor número que pode ser dividido por todos eles sem deixar resto.

O MMC de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Para calculá-lo, fatoramos cada número em primos e tomamos cada fator primo com o maior expoente que aparece. Por exemplo, 3 = 3, 4 = 2² e 6 = 2 × 3, então o MMC é 2² × 3 = 12. Assim, N − 1 deve ser múltiplo de 12, ou seja, N = 12k + 1. Além disso, N deve ser múltiplo de 7, então precisamos encontrar o menor k tal que 12k + 1 seja divisível por 7.

Esta questão combina duas condições: uma de resto (sobra 1 na divisão por 3, 4 e 6) e uma de divisibilidade exata (por 7). O caminho é primeiro impor a condição de resto, gerando uma família de números, e depois filtrar os múltiplos de 7.

O que a questão dá

  • divisão por 7: resto 0

  • divisão por 3: resto 1

  • divisão por 4: resto 1

  • divisão por 6: resto 1

O que queremos: a soma dos algarismos do menor número de alunos que satisfaz as condições

Passo 1 — Calcular o MMC de 3, 4 e 6

Para que N − 1 seja divisível por 3, 4 e 6 ao mesmo tempo, ele precisa ser múltiplo do menor número que é múltiplo de todos eles, que é o MMC. Esse MMC será o passo base para gerar todos os candidatos.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido fatorando cada número e pegando os fatores comuns e não comuns de maior expoente. 3 é primo, 4 = 2², 6 = 2 × 3, então o MMC é 2² × 3 = 12.

MMC(3,4,6)=22×3MMC(3{,}4,6) = 2^{2} \times 3

De onde vem cada valor: 222^{2} = definição: fatoração de 4 · 33 = definição: fatoração de 3 e 6

MMC=4×3=12MMC = 4 \times 3 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o fator 2² e usar apenas 2 × 3 = 6, o que daria N − 1 múltiplo de 6, mas não de 4.

Passo 2 — Escrever a forma geral de N

Como N − 1 é múltiplo de 12, N pode ser escrito como 12k + 1. Isso garante que N deixa resto 1 na divisão por 3, 4 e 6, mas ainda precisamos impor que N seja múltiplo de 7.

Por que esta fórmula: Se N − 1 = 12k, então N = 12k + 1. Essa é a forma geral de todos os números que satisfazem a condição de resto.

N=12k+1N = 12k + 1

De onde vem cada valor: 1212 = passo 1: MMC · kk = definição: número natural qualquer

N=12 k+1N = \boxed{12\ \text{k} + 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o +1 e usar N = 12k, o que daria resto 0 na divisão por 3, 4 e 6.

Passo 3 — Encontrar o menor k que torna N múltiplo de 7

A condição que falta é que N seja divisível por 7. Testando os valores de k em ordem crescente, o primeiro que satisfizer dá o menor N.

Por que esta fórmula: Não há fórmula pronta; é uma busca sistemática. Testamos k = 0, 1, 2, ... e verificamos se 12k + 1 é divisível por 7.

k = 4, N = 49

NÃO CAIA NESSA!

Parar no primeiro número que parece múltiplo de 7 sem verificar a condição de resto, ou testar apenas alguns valores e achar que não há solução.

Passo 4 — Somar os algarismos de N

A questão pede a soma dos algarismos do menor N encontrado. Como N = 49, somamos 4 + 9.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito que o compõe.

S=4+9S = 4 + 9

De onde vem cada valor: 44 = passo 3: algarismo das dezenas de 49 · 99 = passo 3: algarismo das unidades de 49

S=4+9=13S = 4 + 9 = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o número 85, que também tem soma 13, mas não é múltiplo de 7; ou somar os algarismos de 12k+1 sem antes achar o N correto.

Resposta: 13 (alternativa D)

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