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Questão de Matemática — Regra de Três Composta — FCC 2024

MatemáticaRegra de Três Composta
Código
fc146965
Banca
FCC
Órgão
Pref J Guararapes
Ano
2024
Cargo
GM (J Guararapes)
Uma empresa produz um tipo específico de peça e para isso dispõe de muitas máquinas de mesma produtividade. Com 6 dessas máquinas funcionando simultaneamente, 108 peças são produzidas em 1 hora e 30 minutos. Para a produção de 840 peças em 2 horas e 20 minutos, o numero de máquinas que devem ser utilizadas simultaneamente é
  1. A24
  2. B18
  3. C14
  4. D28
  5. E30
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 30

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 30 máquinas — alternativa E.

A ideia por trás

A regra de três composta é um método para resolver problemas que envolvem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Aqui temos três: o número de máquinas, a quantidade de peças produzidas e o tempo de funcionamento. A ideia é descobrir como uma grandeza varia quando as outras mudam, mantendo a relação de proporcionalidade.

Duas grandezas podem ser diretamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma proporção) ou inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção). Neste caso, o número de máquinas é diretamente proporcional à quantidade de peças (mais máquinas produzem mais peças) e inversamente proporcional ao tempo (mais máquinas levam menos tempo para produzir a mesma quantidade).

Esta questão cobra exatamente a montagem da proporção composta, com a inversão da fração do tempo por ser inversamente proporcional. O passo crítico é identificar corretamente qual grandeza é direta e qual é inversa antes de montar a equação.

O que a questão dá

  • 6 máquinas produzem 108 peças em 1h30min

  • produção desejada: 840 peças em 2h20min

  • máquinas têm mesma produtividade

O que queremos: o número de máquinas necessárias para produzir 840 peças em 2h20min

Passo 1 — Converter os tempos para horas

As grandezas precisam estar na mesma unidade para a proporção funcionar. O tempo está dado em horas e minutos, e vamos usar horas na conta, então precisamos transformar 1h30min e 2h20min em horas decimais ou frações.

Por que esta fórmula: 1 hora tem 60 minutos, então para converter minutos em horas dividimos por 60. 1h30min = 1 + 30/60 = 1,5 h; 2h20min = 2 + 20/60 = 2 + 1/3 = 7/3 h.

thoras=h+min60t_{horas} = h + \frac{min}{60}

De onde vem cada valor: hh = enunciado: 1 e 2 · minmin = enunciado: 30 e 20

t1=1+3060=1,5t2=2+2060=73=1,5 he7/3ht_1 = 1 + \frac{30}{60} = 1{,}5 \quad t_2 = 2 + \frac{20}{60} = \frac{7}{3} = \boxed{1{,}5\ \text{h} \text{e} 7/3 \text{h}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 1h30min como 1,3 h ou 2h20min como 2,2 h — isso altera a proporção.

Passo 2 — Montar a tabela de grandezas

Com os tempos convertidos, organizamos os dados em uma tabela para visualizar as relações. Isso ajuda a identificar quais grandezas são diretas e quais são inversas em relação ao número de máquinas.

NÃO CAIA NESSA!

Colocar os valores na ordem errada, trocando as linhas da situação inicial e final.

Passo 3 — Escrever a proporção composta

Agora montamos a equação que relaciona as três grandezas. A regra é: a razão da grandeza que queremos (máquinas) é igual ao produto das razões das outras, invertendo a fração daquelas que são inversamente proporcionais.

Por que esta fórmula: Como máquinas e peças são diretamente proporcionais, mantemos a razão 108/840. Como máquinas e tempo são inversamente proporcionais, invertemos a razão do tempo: em vez de 1,5/(7/3), usamos (7/3)/1,5.

6x=108840×7/31,5\frac{6}{x} = \frac{108}{840} \times \frac{7/3}{1{,}5}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 máquinas · xx = definição: número de máquinas procurado · 108108 = enunciado: 108 peças · 840840 = enunciado: 840 peças · 7/37/3 = passo 1: tempo 2h20min · 1,51{,}5 = passo 1: tempo 1h30min

6x=108840×7/31,5\frac{6}{x} = \frac{108}{840} \times \frac{7/3}{1{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Não inverter a fração do tempo, tratando-o como diretamente proporcional — isso leva a um número menor de máquinas.

Passo 4 — Simplificar as frações

Antes de multiplicar, simplificamos para facilitar o cálculo. Isso evita números grandes e reduz a chance de erro.

Por que esta fórmula: 108/840 pode ser simplificado dividindo por 12: 108÷12=9, 840÷12=70. A fração (7/3)/1,5 = (7/3)/(3/2) = (7/3)×(2/3) = 14/9.

108840=9707/31,5=149\frac{108}{840} = \frac{9}{70} \quad \frac{7/3}{1{,}5} = \frac{14}{9}

De onde vem cada valor: 108108 = enunciado · 840840 = enunciado · 7/37/3 = passo 1 · 1,51{,}5 = passo 1

970×149=1470=15=1 /5\frac{9}{70} \times \frac{14}{9} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5} = \boxed{1\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar errado, por exemplo dividir 108 por 9 e 840 por 12, obtendo frações diferentes.

Passo 5 — Resolver a proporção para x

Com a proporção simplificada, isolamos x para encontrar o número de máquinas. Isso é uma equação simples de primeiro grau.

Por que esta fórmula: Temos 6/x = 1/5. Multiplicando cruzado: 6×5 = x×1, logo x = 30.

6x=15⇒x=6×5\frac{6}{x} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = 6 \times 5

De onde vem cada valor: 66 = enunciado · 1/51/5 = passo 4

x=6×5=30=30 maˊquinasx = 6 \times 5 = 30 = \boxed{30\ \text{m}á\text{quinas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação cruzada, por exemplo fazendo 6×1 = x×5, o que daria x = 1,2.

Resposta: 30 máquinas — alternativa E

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