GabaritoA — 146
Gabarito: letra A — a conta chega a Y - X = 146, alternativa A.
Divisores de um número são os inteiros que o dividem exatamente, sem sobrar resto; múltiplos de um número são os resultados da multiplicação dele por inteiros. Para achar todos os divisores de um número, o caminho seguro é fatorá-lo em primos e combinar esses fatores; para achar o menor múltiplo acima de um limite, divide-se o limite pelo número e arredonda-se para cima.
A fatoração em primos de 248 é 2³ × 31, e os divisores são todos os produtos possíveis desses fatores: 1, 2, 4, 8, 31, 62, 124 e 248. Já os múltiplos de 16 são 16, 32, 48, ... e o primeiro acima de 200 é 16 × 13 = 208, pois 200 ÷ 16 = 12,5 e o próximo inteiro é 13.
Esta questão pede para aplicar esses dois conceitos: listar divisores a partir da fatoração e calcular o múltiplo por divisão com arredondamento para cima. O cuidado está em não confundir o maior divisor menor que 100 com o próprio número, e em não usar 200 como múltiplo, já que não é.
número 248
limite para X: menor que 100
número 16
limite para Y: maior que 200
O que queremos: a diferença Y - X, onde X é o maior divisor de 248 menor que 100 e Y é o menor múltiplo de 16 maior que 200
Para listar todos os divisores de 248 com segurança, precisamos primeiro decompô-lo em fatores primos. Isso evita esquecer divisores como 62 ou 124.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a decomposição única do número em produto de primos; a partir dela, todos os divisores são obtidos combinando esses fatores.
De onde vem cada valor: = enunciado · = definição: fatoração em primos, dividindo 248 por 2 três vezes · = definição: 31 é primo, resultado da divisão 248 ÷ 8
Parar a fatoração em 2 × 124, esquecendo de fatorar 124; isso leva a listar divisores incompletos.
Com a fatoração em mãos, podemos gerar todos os divisores combinando os fatores primos. Isso é necessário para identificar o maior divisor menor que 100.
Por que esta fórmula: Cada divisor é um produto de potências de 2 (0 a 3) e de 31 (0 ou 1). As combinações dão: 1, 2, 4, 8, 31, 62, 124 e 248.
De onde vem cada valor: = definição: 2^0 × 31^0 · = definição: 2^1 × 31^0 · = definição: 2^2 × 31^0 · = definição: 2^3 × 31^0 · = definição: 2^0 × 31^1 · = definição: 2^1 × 31^1 · = definição: 2^2 × 31^1 · = definição: 2^3 × 31^1
Esquecer divisores como 31 ou 62, achando que o maior divisor menor que 100 é 124 (que na verdade é maior que 100).
Agora que temos a lista completa, basta filtrar os divisores que são menores que 100 e pegar o maior deles. Isso define X.
Por que esta fórmula: Dos divisores listados, os menores que 100 são 1, 2, 4, 8, 31 e 62. O maior é 62.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = enunciado: menor que 100
Escolher 124, que é divisor mas é maior que 100; ou escolher 31, que não é o maior.
Para achar Y, precisamos do primeiro múltiplo de 16 que ultrapasse 200. Dividir 200 por 16 nos dá o quociente, e o próximo inteiro indica o múltiplo procurado.
Por que esta fórmula: Múltiplos de 16 são 16 × k. Se 200 ÷ 16 = 12,5, o menor k inteiro que faz 16k > 200 é 13, pois 12 daria 192 (menor que 200).
De onde vem cada valor: = enunciado: múltiplo de 16 · = enunciado: maior que 200
Usar 200 como múltiplo, mas 200 ÷ 16 = 12,5, não é inteiro; ou usar k = 12, que dá 192, menor que 200.
Com X e Y determinados, a diferença pedida é uma subtração direta. É o passo final que fecha a questão.
Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente Y - X, pois o enunciado pede Y menos X.
De onde vem cada valor: = passo 4: 208 · = passo 3: 62
Inverter a ordem e calcular X - Y = -146, ou errar a subtração.
Resposta: Y - X = 146, alternativa A
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