Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 531 — alternativa C.

A ideia por trás

Quando precisamos formar números com um conjunto de algarismos, a ordem em que os colocamos decide o valor do número. Para um número de três algarismos, o algarismo das centenas é o que mais pesa: trocar a centena de 1 para 6 muda o número em 500, enquanto trocar a unidade muda em apenas 1. Por isso, para maximizar ou minimizar um número, a primeira coisa a fazer é escolher bem o algarismo da centena.

A diferença entre dois números é máxima quando o primeiro (minuendo) é o maior possível e o segundo (subtraendo) é o menor possível. Isso porque a subtração cresce quando o primeiro cresce e quando o segundo diminui. Como os algarismos são fixos, o maior número é obtido ordenando-os do maior para o menor (654) e o menor, do menor para o maior (123). Qualquer outra combinação que não use esses extremos dá uma diferença menor.

Esta questão cobra exatamente esse princípio: identificar que a diferença máxima vem do maior número menos o menor número, sem precisar testar todas as combinações. Basta construir os dois extremos e subtrair.

O que a questão dá

• conjunto de algarismos: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• cada número tem 3 algarismos distintos

• os dois números usam todos os 6 algarismos

O que queremos: a maior diferença possível entre dois números de três algarismos distintos formados com esses algarismos

Passo 1 — Formar o maior número possível

Para maximizar a diferença, precisamos do maior número que pode ser formado. Como o algarismo das centenas tem o maior peso, devemos colocar o maior algarismo disponível (6) na centena, depois o segundo maior (5) na dezena e o terceiro (4) na unidade.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma regra de construção. Ordenar os algarismos em ordem decrescente garante que cada posição receba o maior valor possível, maximizando o número.

Passo 2 — Formar o menor número possível

Agora precisamos do menor número para subtrair. Pelo mesmo raciocínio, o algarismo da centena deve ser o menor possível (1), depois o segundo menor (2) na dezena e o terceiro (3) na unidade.

Por que esta fórmula: É a regra inversa: ordenar em ordem crescente minimiza o número.

Passo 3 — Subtrair o menor do maior

Com os dois extremos em mãos, a diferença máxima é simplesmente a subtração entre eles. Qualquer outra combinação daria um minuendo menor ou um subtraendo maior, reduzindo a diferença.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois números é calculada pela subtração direta; não há outra relação envolvida.

De onde vem cada valor: $654$ = passo 1 · $123$ = passo 2

Resposta: 531 — alternativa C