Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 6,50 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma equação de primeiro grau é uma igualdade com uma incógnita que aparece elevada à primeira potência. Ela serve para traduzir uma situação do mundo real — aqui, a comparação entre dois preços — em uma conta que podemos resolver. A incógnita representa o valor desconhecido, e a equação diz que duas expressões com ela são iguais.

A relação central é a de proporção: se um preço é 50% maior que outro, ele vale 1,5 vezes o outro, ou seja, P = 1,5·V. Isso é diferente de somar R$ 0,50. Quando uma grandeza é proporcional a outra, multiplicar uma por um fator multiplica a outra pelo mesmo fator — por isso, se o quilo da verde custa V, o da preta custa 1,5·V.

Esta questão pede para montar uma equação a partir da diferença de preço entre duas combinações e usar a relação percentual para resolver. O passo crucial é traduzir corretamente '50% a mais' em uma multiplicação por 1,5, e não em uma soma fixa.

O que a questão dá

• ½ kg de azeitonas verdes + ¾ kg de pretas custam R$ 0,50 a mais que ¾ kg de verdes + ½ kg de pretas

• 1 kg de azeitona preta custa 50% a mais que 1 kg de azeitona verde

O que queremos: o valor a pagar por ½ kg de azeitona verde e ¾ kg de azeitona preta

Passo 1 — Definir as incógnitas e montar a equação

Para resolver o problema, precisamos transformar as frases em linguagem matemática. Vamos chamar de V o preço de 1 kg de azeitona verde e de P o preço de 1 kg de azeitona preta. A primeira combinação custa ½V + ¾P, e a segunda custa ¾V + ½P. O enunciado diz que a primeira é R$ 0,50 mais cara, então montamos a igualdade.

Por que esta fórmula: A equação vem diretamente da comparação: o custo da primeira combinação é igual ao custo da segunda mais R$ 0,50. Isso é a tradução literal de 'custa R$ 0,50 a mais'.

De onde vem cada valor: $V$ = definição: preço de 1 kg de azeitona verde · $P$ = definição: preço de 1 kg de azeitona preta · $0{,}50$ = enunciado: diferença de preço entre as combinações

Passo 2 — Traduzir o percentual em uma relação entre preços

Temos duas incógnitas, V e P, e uma única equação. Precisamos de outra relação entre elas. O enunciado diz que o quilo da preta custa 50% a mais que o da verde — isso significa que P é 1,5 vezes V, ou seja, P = 1,5·V. Essa é a segunda equação.

Por que esta fórmula: '50% a mais' significa que o preço da preta é o preço da verde mais metade dele, ou seja, 1,5 vezes. Não é somar R$ 0,50, é multiplicar por 1,5.

De onde vem cada valor: $1{,}5$ = enunciado: 50% a mais = 1 + 0,5 = 1,5 · $V$ = passo 1: preço da verde

Passo 3 — Substituir P na equação da diferença

Com P = 1,5·V, podemos substituir P na equação do passo 1, ficando com uma equação só com V. Isso é o método da substituição: reduzir o número de incógnitas.

Por que esta fórmula: Substituir é trocar a letra P pela expressão equivalente 1,5·V em todos os lugares onde P aparece.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{2}V$ = passo 1: primeira combinação, parte verde · $\frac{3}{4} \cdot 1{,}5V$ = passo 1 e passo 2: primeira combinação, parte preta, com P substituído · $\frac{3}{4}V$ = passo 1: segunda combinação, parte verde · $\frac{1}{2} \cdot 1{,}5V$ = passo 1 e passo 2: segunda combinação, parte preta, com P substituído · $0{,}50$ = passo 1: diferença

Passo 4 — Simplificar os termos com V

A equação ainda tem frações e termos com V dos dois lados. Para resolver, precisamos juntar os termos semelhantes, ou seja, somar os coeficientes de V de cada lado.

Por que esta fórmula: Multiplicar frações: ¾·1,5 = ¾·3/2 = 9/8. Somar frações com denominadores diferentes exige encontrar um denominador comum.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{2}V$ = passo 3: termo da esquerda · $\frac{9}{8}V$ = passo 3: ¾·1,5V = 9/8V · $\frac{3}{4}V$ = passo 3: ½·1,5V = ¾V, parte preta · $0{,}50$ = passo 3: diferença

Passo 5 — Somar os coeficientes de V

Agora temos termos com V de ambos os lados. Para isolar V, precisamos somar os coeficientes de cada lado, transformando as frações em um denominador comum.

Por que esta fórmula: 1/2 = 4/8, então 4/8 + 9/8 = 13/8. Do lado direito, 3/4 = 6/8, então 6/8 + 6/8 = 12/8.

De onde vem cada valor: $\frac{13}{8}V$ = passo 4: soma dos coeficientes da esquerda · $\frac{12}{8}V$ = passo 4: soma dos coeficientes da direita · $0{,}50$ = passo 4: diferença

Passo 6 — Isolar V

Para descobrir o valor de V, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtraímos 12/8V dos dois lados, o que é permitido porque mantém a igualdade.

Por que esta fórmula: Subtrair o mesmo termo dos dois lados não altera a igualdade. Isso é a propriedade da equação.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{8}V$ = passo 5: 13/8V - 12/8V · $0{,}50$ = passo 5: diferença

Passo 7 — Multiplicar para achar V

A equação 1/8V = 0,50 diz que um oitavo de V vale 0,50. Para achar V inteiro, multiplicamos os dois lados por 8.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 8 elimina o denominador, pois 8·(1/8) = 1.

De onde vem cada valor: $0{,}50$ = passo 6: valor de 1/8V · $8$ = passo 6: denominador

Passo 8 — Calcular o preço pedido

Já temos V = 4,00. Precisamos do preço da combinação pedida: ½ kg de verde e ¾ kg de preta. Primeiro achamos P usando a relação do passo 2, depois substituímos na expressão.

Por que esta fórmula: P = 1,5·V, então P = 1,5·4 = 6,00. O custo é ½·V + ¾·P.

De onde vem cada valor: $V$ = passo 7: 4,00 · $P$ = passo 2 e passo 7: 1,5·4,00 = 6,00

Resposta: R$ 6,50 — alternativa D