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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc146987
Banca
FCC
Órgão
CETESB
Ano
2024
Cargo
Tec Adm ( )
Um professor possui um banco de questões em que 5 delas são consideradas fáceis, 7 de nível médio e 3 difíceis. Ele vai elaborar uma prova com 3 questões fáceis, 5 médias e 2 difíceis. O número de provas distintas que ele pode fazer é
  1. A60
  2. B105
  3. C210
  4. D630
  5. E30
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 630

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 630 provas distintas — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher ou organizar elementos. Quando a ordem dos elementos escolhidos não importa — ou seja, escolher as questões A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A — usamos a combinação simples. Ela responde perguntas do tipo 'de quantas formas posso escolher p elementos entre n disponíveis'.

A combinação simples é calculada por C(n,p) = n! / [p! (n-p)!], onde n é o total de elementos e p é quantos escolhemos. O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Essa fórmula conta apenas os grupos, ignorando a ordem interna. Quando precisamos fazer várias escolhas independentes e todas devem acontecer (escolher fáceis E médias E difíceis), multiplicamos os resultados — é o princípio multiplicativo.

Esta questão pede exatamente isso: escolher grupos de questões de cada nível, sem se importar com a ordem dentro de cada grupo. Por isso, calculamos uma combinação para cada nível e multiplicamos os resultados.

O que a questão dá

  • 5 questões fáceis

  • 7 questões médias

  • 3 questões difíceis

  • prova com 3 fáceis, 5 médias e 2 difíceis

O que queremos: o número de provas distintas que o professor pode montar

Passo 1 — Calcular as combinações de questões fáceis

Precisamos escolher 3 questões fáceis entre as 5 disponíveis. Como a ordem das questões na prova não importa, usamos combinação. Vamos calcular quantos grupos diferentes de 3 fáceis podemos formar.

Por que esta fórmula: A fórmula da combinação C(n,p) = n! / [p! (n-p)!] conta quantos subconjuntos de p elementos existem em um conjunto de n, sem considerar a ordem. Aqui n=5 e p=3.

C5,3=5!3!(5−3)!C_{5,3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 questões fáceis · 33 = enunciado: a prova terá 3 questões fáceis

C5,3=5×4×3!3!×2!=5×42=10=10 maneirasdeescolherasfaˊceisC_{5,3} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 = \boxed{10\ \text{maneiras} \text{de} \text{escolher} \text{as} \text{f}á\text{ceis}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (5×4×3 = 60) em vez de combinação, contando ordens diferentes como provas diferentes.

Passo 2 — Calcular as combinações de questões médias

Agora escolhemos 5 questões médias entre as 7 disponíveis. Novamente a ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula de combinação, agora com n=7 e p=5.

C7,5=7!5!(7−5)!C_{7,5} = \frac{7!}{5!(7-5)!}

De onde vem cada valor: 77 = enunciado: 7 questões médias · 55 = enunciado: a prova terá 5 questões médias

C7,5=7×6×5!5!×2!=7×62=21=21 maneirasdeescolherasmeˊdiasC_{7,5} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21 = \boxed{21\ \text{maneiras} \text{de} \text{escolher} \text{as} \text{m}é\text{dias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar o fatorial e calcular 7! = 5040, resultando em número gigante e errado.

Passo 3 — Calcular as combinações de questões difíceis

Por fim, escolhemos 2 questões difíceis entre as 3 disponíveis. A ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: Combinação com n=3 e p=2.

C3,2=3!2!(3−2)!C_{3,2} = \frac{3!}{2!(3-2)!}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 questões difíceis · 22 = enunciado: a prova terá 2 questões difíceis

C3,2=3×2!2!×1!=3=3 maneirasdeescolherasdifıˊceisC_{3,2} = \frac{3 \times 2!}{2! \times 1!} = 3 = \boxed{3\ \text{maneiras} \text{de} \text{escolher} \text{as} \text{dif}í\text{ceis}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que é 3×2 = 6, contando a ordem das duas difíceis.

Passo 4 — Multiplicar as combinações de cada nível

As escolhas são independentes e todas devem acontecer: escolher as fáceis E as médias E as difíceis. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos os números de possibilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: Quando temos eventos independentes e queremos que todos ocorram, o total de combinações é o produto das possibilidades de cada um.

Total=C5,3×C7,5×C3,2Total = C_{5,3} \times C_{7,5} \times C_{3,2}

De onde vem cada valor: C5,3C_{5,3} = passo 1: 10 · C7,5C_{7,5} = passo 2: 21 · C3,2C_{3,2} = passo 3: 3

Total=10×21×3Total = 10 \times 21 \times 3

TotalTotal = 630 provas distintas

NÃO CAIA NESSA!

Somar as combinações (10+21+3=34) em vez de multiplicar, ou esquecer um dos níveis.

Resposta: 630 provas distintas — alternativa D

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