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Questão de Matemática — Soma dos Ângulos Internos do Triângulo — FCC 2024

MatemáticaSoma dos Ângulos Internos do Triângulo
Código
fc146988
Banca
FCC
Órgão
CETESB
Ano
2024
Cargo
Tec Adm ( )
Na figura abaixo os ângulos A\widehat{C}D e A\widehat{D}C são iguais ao segmento AD‾\overline{AD} divide o B\widehat{A}C ao meio. O ângulo A\widehat{B}D vale 54º.   O valor do ângulo A\widehat{D}B éImagem associada para resolução da questão
  1. A104º
  2. B102º
  3. C112º
  4. D135º
  5. E120º
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 102º

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 102º — alternativa B.

A ideia por trás

Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é sempre 180º. Essa é a lei angular de Tales, e ela vale para todo triângulo, não importa o formato. Além disso, um triângulo isósceles tem dois lados iguais e, por isso, os dois ângulos da base também são iguais — é uma propriedade que ajuda a descobrir ângulos desconhecidos.

A relação central é a soma dos ângulos internos: α + β + γ = 180º. Se dois ângulos são iguais, podemos chamá-los de x e montar uma equação. Outra ferramenta é o teorema do ângulo externo: um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Essas duas regras, junto com a propriedade do triângulo isósceles, permitem encadear os ângulos da figura.

Esta questão mistura dois triângulos: o ACD, que é isósceles, e o ABD, onde está o ângulo pedido. A bissetriz AD liga os dois, então precisamos descobrir o valor de x (os ângulos iguais do triângulo ACD) para depois calcular o ângulo ADB.

O que a questão dá

  • ângulo ACD = ângulo ADC (triângulo ACD é isósceles)

  • AD divide o ângulo BAC ao meio (bissetriz)

  • ângulo ABD = 54º

O que queremos: o valor do ângulo ADB

Passo 1 — Chamar os ângulos iguais de x

O triângulo ACD tem dois ângulos iguais (ACD e ADC). Para trabalhar com eles, damos um nome comum, x. Isso transforma a informação do enunciado em uma variável que podemos usar nas contas.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que ACD e ADC são iguais e tentar resolver sem essa informação.

Passo 2 — Achar o ângulo CAD no triângulo ACD

No triângulo ACD, já temos dois ângulos iguais a x. Como a soma dos ângulos internos é 180º, o terceiro ângulo, CAD, é o que sobra. Isso é a aplicação direta da lei angular de Tales.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Com dois ângulos iguais a x, o terceiro é 180º − 2x.

∠CAD=180∘−2x\angle CAD = 180^{\circ} - 2x

De onde vem cada valor: xx = passo 1: ângulos iguais do triângulo ACD

∠CAD=180∘−2x=180 º−2x\angle CAD = 180^{\circ} - 2x = \boxed{180\ º − 2\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que CAD é igual a x, mas ele é o ângulo do vértice A, diferente dos da base.

Passo 3 — Usar a bissetriz para achar o ângulo BAD

AD divide o ângulo BAC ao meio, então o ângulo BAD é igual ao ângulo CAD. Isso liga o triângulo ACD ao triângulo ABD, onde está o ângulo que queremos.

Por que esta fórmula: Se AD é bissetriz, ela divide o ângulo em duas partes iguais. Portanto, BAD = CAD.

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

De onde vem cada valor: ∠CAD\angle CAD = passo 2: 180º − 2x

∠BAD=180∘−2x=180 º−2x\angle BAD = 180^{\circ} - 2x = \boxed{180\ º − 2\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir BAD com o ângulo inteiro BAC, que é o dobro.

Passo 4 — Montar a equação no triângulo ABC

Precisamos descobrir o valor de x. O triângulo ABC contém o ângulo B (54º), o ângulo C (que é x, pois ACD = x) e o ângulo A, que é a soma de BAD e CAD, ou seja, 2×(180º − 2x). A soma desses três deve ser 180º.

Por que esta fórmula: No triângulo ABC, a soma dos ângulos internos é 180º. O ângulo A é a soma dos dois ângulos formados pela bissetriz, então é 2×(180º − 2x). O ângulo C é x, e o ângulo B é 54º.

(360∘−4x)+x+54∘=180∘(360^{\circ} - 4x) + x + 54^{\circ} = 180^{\circ}

De onde vem cada valor: 360∘−4x360^{\circ} - 4x = passo 3: 2 × (180º − 2x) · xx = passo 1: ângulo C · 54∘54^{\circ} = enunciado: ângulo ABD

360∘−4x+x+54∘=180∘360^{\circ} - 4x + x + 54^{\circ} = 180^{\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 o ângulo BAD, usando apenas 180º − 2x.

Passo 5 — Resolver a equação para x

A equação do passo anterior tem uma única incógnita, x. Isolá-la nos dá o valor dos ângulos iguais do triângulo ACD, que é a chave para o próximo passo.

Por que esta fórmula: É uma equação linear simples: somamos os termos com x e os números, depois isolamos x.

414∘−3x=180∘414^{\circ} - 3x = 180^{\circ}

De onde vem cada valor: 414∘414^{\circ} = passo 4: 360º + 54º · −3x-3x = passo 4: -4x + x

414∘−3x=180∘414^{\circ} - 3x = 180^{\circ}
x=78 ºx = \boxed{78\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 360 + 54 = 414, ou esquecer de subtrair 414 dos dois lados.

Passo 6 — Calcular o ângulo BAD com o valor de x

Agora que sabemos x, podemos achar o ângulo BAD, que é 180º − 2x. Esse ângulo é um dos três do triângulo ABD, onde está o ângulo pedido.

Por que esta fórmula: Substituímos x na expressão do passo 3.

∠BAD=180∘−2×78∘\angle BAD = 180^{\circ} - 2 \times 78^{\circ}

De onde vem cada valor: 78∘78^{\circ} = passo 5: valor de x

∠BAD=180∘−156∘=24 º\angle BAD = 180^{\circ} - 156^{\circ} = \boxed{24\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x = 78º direto como ângulo BAD, sem subtrair de 180º.

Passo 7 — Achar o ângulo ADB no triângulo ABD

No triângulo ABD, conhecemos o ângulo B (54º) e o ângulo BAD (24º). O ângulo ADB é o terceiro, e a soma dos três deve ser 180º. Esse é o passo final.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Subtraímos os dois ângulos conhecidos de 180º para achar o terceiro.

∠ADB=180∘−54∘−24∘\angle ADB = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 24^{\circ}

De onde vem cada valor: 54∘54^{\circ} = enunciado: ângulo ABD · 24∘24^{\circ} = passo 6: ângulo BAD

∠ADB=180∘−54∘−24∘=102 º\angle ADB = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 24^{\circ} = \boxed{102\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o ângulo ADB com o ADC, que é x = 78º. São ângulos diferentes, em triângulos diferentes.

Resposta: 102º — alternativa B

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