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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc146989
Banca
FCC
Órgão
CETESB
Ano
2024
Cargo
Tec Adm ( )
Um time titular do vôlei deve posar para uma foto. Se os quatro jogadores mais baixos devem ficar entre os dois mais altos, o número de fotos distintas é
  1. A24.
  2. B12.
  3. C64.
  4. D32.
  5. E48.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 48.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 48 fotos distintas — alternativa E.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Quando a ordem importa, como numa fila para foto, cada organização é uma permutação. O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m possibilidades e outra tem n, o total de combinações é m × n.

Permutação simples de n elementos distintos é n! = n × (n-1) × ... × 1, que conta todas as ordens possíveis. Quando há uma restrição de posição, como 'ficar entre', dividimos o problema em etapas independentes e multiplicamos as possibilidades de cada etapa. Aqui, os dois mais altos ocupam as extremidades (2! maneiras) e os quatro mais baixos permutam nas posições centrais (4! maneiras).

Esta questão cobra exatamente essa divisão em etapas: primeiro posicionar os dois mais altos nas pontas, depois permutar os quatro mais baixos no meio. O total é o produto das possibilidades de cada etapa.

O que a questão dá

  • 4 jogadores mais baixos devem ficar entre os 2 mais altos

O que queremos: o número de fotos distintas (ordenações) que satisfazem a condição

Passo 1 — Posicionar os dois mais altos nas extremidades

A condição 'os quatro mais baixos devem ficar entre os dois mais altos' obriga que os dois mais altos ocupem as duas pontas da fila. Se um alto estivesse no meio, ele não estaria 'entre' os baixos. Então primeiro fixamos os altos nas extremidades.

Por que esta fórmula: Temos 2 opções para a primeira posição (um dos dois altos) e, escolhido esse, resta 1 opção para a última. Pelo princípio multiplicativo, são 2 × 1 = 2! = 2 maneiras.

2!=2×12! = 2 \times 1

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: dois jogadores mais altos

2!=2×1=2 maneiras2! = 2 \times 1 = \boxed{2\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os dois altos podem trocar de lado entre si, contando apenas 1 maneira.

Passo 2 — Permutar os quatro mais baixos nas posições centrais

Com as extremidades ocupadas pelos altos, restam 4 posições centrais para os 4 baixos. Como são pessoas distintas, cada ordem diferente gera uma foto diferente.

Por que esta fórmula: Permutação simples de 4 elementos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: quatro jogadores mais baixos

4!=4×3×2×1=24 maneiras4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de permutar os baixos entre si, contando apenas 1 maneira.

Passo 3 — Multiplicar as possibilidades das duas etapas

As duas etapas são independentes: qualquer ordem dos altos nas pontas pode combinar com qualquer ordem dos baixos no centro. O princípio fundamental da contagem manda multiplicar.

Por que esta fórmula: Total = (maneiras de posicionar os altos) × (maneiras de permutar os baixos).

Total=2!×4!Total = 2! \times 4!

De onde vem cada valor: 2!2! = passo 1: 2 maneiras · 4!4! = passo 2: 24 maneiras

Total=2×24=48 fotosTotal = 2 \times 24 = \boxed{48\ \text{fotos}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar: 2 + 24 = 26, que não é uma alternativa.

Resposta: 48 fotos distintas — alternativa E

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