Questão de Raciocínio Lógico — Outros Exercícios de Lógica — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 5 compras distintas — alternativa C.

A ideia por trás

Este é um problema de contagem com restrições: precisamos encontrar todas as combinações de quantidades de três itens que somam exatamente R$ 24,00, respeitando as condições de comprar pelo menos uma unidade de cada e no máximo 2 agulhas. Não é uma fórmula pronta de análise combinatória, mas sim uma equação com variáveis inteiras e limites.

A equação que governa é 4Z + 2B + 1A = 24, onde Z, B e A são as quantidades de zíperes, botões e agulhas. Cada termo representa o custo total de cada item. Como os preços são fixos, a soma deve ser exatamente 24. As restrições são Z ≥ 1, B ≥ 1 e A ∈ {1, 2}. A quantidade de agulhas é limitada, o que reduz as possibilidades.

Esta questão cobra a aplicação da equação com restrições: precisamos testar os valores possíveis de A (1 ou 2) e, para cada um, encontrar os pares (Z, B) que satisfazem a equação. A pegadinha é esquecer a restrição do máximo de agulhas, o que levaria a mais combinações.

O que a questão dá

• gasto total = R$ 24,00

• preço do zíper = R$ 4,00

• preço do botão = R$ 2,00

• preço da agulha = R$ 1,00

• pelo menos uma unidade de cada item

• no máximo 2 agulhas

O que queremos: o número de compras distintas possíveis

Passo 1 — Montar a equação do gasto total

Para resolver o problema, precisamos traduzir o enunciado em uma equação matemática. Cada item tem um preço e uma quantidade desconhecida; o gasto total é a soma dos produtos. Essa equação será a base para testar as possibilidades.

Por que esta fórmula: O gasto total é a soma do custo de cada item: preço do zíper vezes a quantidade de zíperes, mais preço do botão vezes a quantidade de botões, mais preço da agulha vezes a quantidade de agulhas. Como o total é R$ 24,00, montamos a equação.

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: preço do zíper = R$ 4,00 · $2$ = enunciado: preço do botão = R$ 2,00 · $1$ = enunciado: preço da agulha = R$ 1,00 · $24$ = enunciado: gasto total = R$ 24,00

Passo 2 — Testar o caso com 1 agulha

A restrição diz que ela comprou no máximo 2 agulhas, então A só pode ser 1 ou 2. Testamos primeiro A = 1 para ver se há solução inteira para Z e B.

Por que esta fórmula: Substituímos A = 1 na equação e isolamos os termos com Z e B. A equação resultante deve ter solução inteira para Z e B, mas como 2Z é par e 23 é ímpar, não há solução.

De onde vem cada valor: $4Z + 2B$ = passo 1: equação original com A = 1 · $23$ = passo 1: 24 - 1 = 23

sem solução inteira

Passo 3 — Testar o caso com 2 agulhas

Como A = 1 não deu solução, testamos A = 2. Agora a equação fica 4Z + 2B = 22, que pode ser simplificada dividindo por 2.

Por que esta fórmula: Substituímos A = 2 na equação e simplificamos dividindo todos os termos por 2, pois 4Z e 2B são divisíveis por 2. Isso facilita encontrar os pares (Z, B).

De onde vem cada valor: $2Z + B$ = passo 1: (4Z + 2B)/2 = 2Z + B · $11$ = passo 1: (24 - 2)/2 = 11

Passo 4 — Listar os pares possíveis de zíper e botão

Com a equação simplificada, precisamos encontrar todos os pares (Z, B) com Z ≥ 1 e B ≥ 1 que satisfazem 2Z + B = 11. Testamos valores crescentes de Z até B ficar menor que 1.

Por que esta fórmula: Para cada Z inteiro positivo, calculamos B = 11 - 2Z. Precisamos que B seja inteiro e ≥ 1. Testamos Z = 1, 2, 3, 4, 5 e paramos quando B fica negativo.

De onde vem cada valor: $11$ = passo 3: resultado da equação · $2Z$ = passo 3: termo com Z

$Z$ = 5 pares: (1,9), (2,7), (3,5), (4,3), (5,1)

Passo 5 — Contar as compras distintas

Cada par (Z, B) com A = 2 forma uma compra distinta. Como encontramos 5 pares válidos, esse é o número de compras possíveis.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem direta dos pares listados no passo anterior. Cada combinação (Z, B, A) é uma compra diferente.

5 compras distintas

Resposta: 5 compras distintas — alternativa C