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Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2023

MatemáticaPorcentagem
Código
fg068425
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Educação Indígena Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Suponha que uma população de bactérias comece com 100 bactérias e cresça a uma taxa de 20% a cada hora. Seja o número de bactérias após n horas denotadas por an.A razão entre a4 e a2 é de
  1. A1, 04
  2. B1, 44
  3. C1, 64
  4. D2, 24
  5. E2, 44
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1, 44

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1,44 (alternativa B).

A ideia por trás

O crescimento de uma população a uma taxa percentual fixa por período é um crescimento exponencial: a cada período, o valor é multiplicado por um fator constante. Esse fator é 1 mais a taxa na forma decimal (por exemplo, 20% vira 0,20, então o fator é 1,20). A fórmula geral é a_n = a_0 · (1 + i)^n, onde a_0 é o valor inicial, i é a taxa por período e n é o número de períodos. Quando comparamos dois termos separados por k períodos, a razão entre eles é (1 + i)^k, pois o valor inicial se cancela. Nesta questão, queremos a razão entre o termo de 4 horas e o de 2 horas, então a diferença de tempo é 2 horas e a razão será o fator de crescimento elevado a 2.

O que a questão dá

  • população inicial = 100 bactérias

  • taxa de crescimento = 20% por hora

  • a_n = número de bactérias após n horas

O que queremos: a razão entre a4 e a2

Passo 1 — Transformar a taxa em fator de crescimento

Para usar a fórmula do crescimento exponencial, precisamos do fator que multiplica a população a cada hora. Uma taxa de 20% significa que a população aumenta em 20% do valor atual, então o novo valor é 100% + 20% = 120% do anterior, ou seja, 1,20 vezes.

Por que esta fórmula: O fator de crescimento é sempre 1 + taxa (em decimal). Isso porque somamos o aumento percentual ao valor original.

f=1+if = 1 + i

De onde vem cada valor: ii = enunciado: 20% = 0,20

f=1+0,20=1,20f = 1 + 0{,}20 = \boxed{1{,}20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 e usar 0,20 como fator, o que daria uma redução, não um crescimento.

Passo 2 — Escrever a fórmula do termo geral

Com o fator de crescimento em mãos, podemos expressar o número de bactérias após n horas. Como a população cresce exponencialmente, o termo geral é o valor inicial multiplicado pelo fator elevado ao número de horas.

Por que esta fórmula: Em um crescimento exponencial com fator constante, cada hora multiplica o valor anterior pelo fator, então após n horas multiplicamos o inicial por f^n.

an=a0⋅fna_n = a_0 \cdot f^n

De onde vem cada valor: a0a_0 = enunciado: 100 bactérias · ff = passo 1: 1,20

an=100⋅1,20na_n = 100 \cdot 1{,}20^n
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: usar a_n = a_0 · n · f, que é crescimento linear, não exponencial.

Passo 3 — Montar a razão entre a4 e a2

A questão pede a razão entre o termo de 4 horas e o de 2 horas. Escrevemos os dois termos usando a fórmula do passo 2 e montamos a fração.

Por que esta fórmula: A razão é simplesmente a divisão de um termo pelo outro.

(a_4)/(a_2) = fraca_0 · f^4a_0 · f^2

De onde vem cada valor: a0a_0 = passo 2: 100 · ff = passo 1: 1,20

(a_4)/(a_2) = frac100 · 1,20^4100 · 1,20^2
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a4 e a2 separadamente e depois dividir, o que dá o mesmo resultado, mas é mais trabalhoso e sujeito a erro de arredondamento.

Passo 4 — Simplificar a fração

Para facilitar o cálculo, cancelamos o valor inicial (100) que aparece no numerador e no denominador. Isso é válido porque qualquer número dividido por ele mesmo é 1.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade de potências: ao dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes.

(a_4)/(a_2) = f^4-2 = f^2

De onde vem cada valor: ff = passo 1: 1,20

(a_4)/(a_2) = 1,20^4-2 = 1,20^2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar o 100 e tentar dividir 207,36 por 144, o que dá certo, mas é desnecessário.

Passo 5 — Calcular a potência final

Agora temos uma expressão simples: 1,20 ao quadrado. Basta multiplicar 1,20 por ele mesmo para obter a razão.

Por que esta fórmula: Potência é multiplicação repetida: 1,20^2 = 1,20 × 1,20.

1,202=1,20×1,201{,}20^{2} = 1{,}20 \times 1{,}20

De onde vem cada valor: 1,201{,}20 = passo 1

1,20×1,20=1,441{,}20 \times 1{,}20 = \boxed{1{,}44}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 1,2 × 1,2 = 1,44, não 1,4 ou 1,24.

Resposta: 1,44 (alternativa B)

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