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Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FGV 2023

Raciocínio LógicoDiagramas de Venn (Conjuntos)
Código
fg068562
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Uma pesquisa sobre os aplicativos P, Q e R foi realizada com indivíduos que utilizam pelo menos um deles. Constatou-se que, dos entrevistados,• 5 usam o aplicativo P;• 8 usam o aplicativo Q;• 9 usam o aplicativo R;• 3 usam os aplicativos P e Q;• 4 usam os aplicativos Q e R;• 2 usam os aplicativos P e R; e• 2 usam os aplicativos P, Q e R.Assinale a opção que indica o número de pessoas que respondeu a essa pesquisa.
  1. A33.
  2. B27.
  3. C22.
  4. D19.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 15 pessoas (alternativa E).

A ideia por trás

Quando temos três conjuntos e queremos saber quantos elementos existem no total (a união), não podemos simplesmente somar os tamanhos de cada conjunto, porque as pessoas que usam mais de um aplicativo seriam contadas mais de uma vez. O princípio da inclusão-exclusão corrige essa contagem: somamos os tamanhos de cada conjunto, subtraímos as interseções duplas (para não contar duas vezes quem está em dois conjuntos) e somamos a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes e precisa ser compensada). A fórmula é n(P ∪ Q ∪ R) = n(P) + n(Q) + n(R) − n(P ∩ Q) − n(P ∩ R) − n(Q ∩ R) + n(P ∩ Q ∩ R). Nesta questão, aplicamos exatamente essa fórmula com os dados fornecidos para achar o total de entrevistados.

O que a questão dá

  • n(P) = 5

  • n(Q) = 8

  • n(R) = 9

  • n(P ∩ Q) = 3

  • n(Q ∩ R) = 4

  • n(P ∩ R) = 2

  • n(P ∩ Q ∩ R) = 2

O que queremos: o número total de pessoas que responderam à pesquisa, ou seja, o número de elementos da união dos três conjuntos

Passo 1 — Somando os totais de cada aplicativo

Para calcular a união, começamos somando quantas pessoas usam cada aplicativo individualmente. Isso conta cada pessoa que usa um aplicativo, mas quem usa dois ou três aplicativos é contado mais de uma vez — por isso precisamos corrigir depois.

Por que esta fórmula: A soma dos totais é o primeiro passo da fórmula da inclusão-exclusão: n(P) + n(Q) + n(R).

S=n(P)+n(Q)+n(R)S = n(P) + n(Q) + n(R)

De onde vem cada valor: n(P)n(P) = enunciado: 5 · n(Q)n(Q) = enunciado: 8 · n(R)n(R) = enunciado: 9

S=5+8+9=22S = 5 + 8 + 9 = \boxed{22}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que essa soma ainda não é a resposta, pois as interseções estão sendo contadas múltiplas vezes.

Passo 2 — Somando as interseções duplas

Cada pessoa que usa dois aplicativos foi contada duas vezes na soma anterior (uma vez em cada conjunto). Para corrigir, precisamos subtrair essas contagens duplicadas. Somamos as interseções duplas para saber o total a subtrair.

Por que esta fórmula: As interseções duplas representam as pessoas que estão em dois conjuntos ao mesmo tempo; somá-las nos dá o total de contagens duplicadas.

D=n(P∩Q)+n(P∩R)+n(Q∩R)D = n(P \cap Q) + n(P \cap R) + n(Q \cap R)

De onde vem cada valor: n(P∩Q)n(P \cap Q) = enunciado: 3 · n(P∩R)n(P \cap R) = enunciado: 2 · n(Q∩R)n(Q \cap R) = enunciado: 4

D=3+2+4=9D = 3 + 2 + 4 = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das interseções ou esquecer alguma delas.

Passo 3 — Subtraindo as interseções duplas da soma

Agora que sabemos quantas contagens duplicadas existem, subtraímos esse total da soma inicial. Isso remove a contagem dupla de quem usa dois aplicativos, mas também subtrai demais quem usa os três — por isso o próximo passo corrige isso.

Por que esta fórmula: A fórmula da inclusão-exclusão manda subtrair as interseções duplas: S − D.

T=S−DT = S - D

De onde vem cada valor: SS = passo 1: 22 · DD = passo 2: 9

T=22−9=13T = 22 - 9 = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que a resposta é 13 — mas ainda falta somar a interseção tripla.

Passo 4 — Somando a interseção tripla de volta

Quem usa os três aplicativos foi contado três vezes na soma inicial e depois subtraído três vezes (uma em cada interseção dupla). Isso significa que essa pessoa ficou de fora da contagem. Para incluí-la corretamente, precisamos somar a interseção tripla uma vez.

Por que esta fórmula: A fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos soma a interseção tripla no final: T + n(P ∩ Q ∩ R).

U=T+n(P∩Q∩R)U = T + n(P \cap Q \cap R)

De onde vem cada valor: TT = passo 3: 13 · n(P∩Q∩R)n(P \cap Q \cap R) = enunciado: 2

U=13+2=15U = 13 + 2 = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla — isso leva à alternativa D (13), que não está entre as opções, mas é um erro comum.

Resposta: 15 pessoas (alternativa E)

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