Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Seja P um poliedro convexo com faces exclusivamente triangulares, quadriláteras, pentagonais e hexagonais.As quantidades de faces de cada um dos quatro tipos são as mesmas. O número de vértices de P está entre 8 e 15.É correto afirmar que P tem
A10 vértices.
B10 faces.
C12 faces.
D12 arestas.
E18 arestas.
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GabaritoE — 18 arestas.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 18 arestas (letra E).
A ideia por trás
Um poliedro convexo é um sólido geométrico com superfície formada por polígonos planos, sem reentrâncias. Seus elementos básicos são vértices (pontos onde as arestas se encontram), arestas (segmentos que limitam as faces) e faces (os polígonos). A Relação de Euler, V + F = A + 2, vale para todo poliedro convexo e conecta esses três números: conhecendo dois, descobre-se o terceiro. Além disso, cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces, então a soma dos lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes: 2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + 6F6. Nesta questão, as quantidades de cada tipo de face são iguais, o que permite expressar F e A em função de uma única incógnita x, e a condição sobre o número de vértices determina x.
O que a questão dá
faces triangulares, quadriláteras, pentagonais e hexagonais em quantidades iguais
número de vértices entre 8 e 15
O que queremos: o número de arestas do poliedro
Passo 1 — Chamar de x a quantidade de cada face
Como há quatro tipos de faces e a quantidade de cada um é a mesma, precisamos de uma única incógnita para representar todas. Isso simplifica as contas e permite relacionar faces, arestas e vértices.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que são quatro tipos e usar apenas um x para o total de faces.
Passo 2 — Calcular o total de faces
O total de faces é a soma das faces de cada tipo. Como cada tipo tem x faces e são quatro tipos, basta multiplicar x por 4.
Por que esta fórmula: F = 4x porque há quatro tipos de faces, cada um com x faces.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: quatro tipos de faces
NÃO CAIA NESSA!
Usar F = x em vez de F = 4x.
Passo 3 — Calcular o total de arestas
Cada aresta é compartilhada por duas faces, então a soma dos lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes. Isso permite achar A em função de x.
Por que esta fórmula: 2A = 3x + 4x + 5x + 6x porque cada face triangular contribui com 3 lados, cada quadrilátera com 4, etc., e cada aresta é contada duas vezes.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: tipos de faces
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2, achando A = 18x.
Passo 4 — Isolar A na equação
Precisamos de A em função de x para usar na Relação de Euler. Dividir ambos os lados por 2 resolve.
Por que esta fórmula: Dividir por 2 porque 2A = 18x.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Não dividir, mantendo A = 18x.
Passo 5 — Aplicar a Relação de Euler
A Relação de Euler conecta V, F e A. Com F e A em função de x, podemos expressar V também em função de x.
Por que esta fórmula: V + F = A + 2 é a Relação de Euler, válida para poliedros convexos.
De onde vem cada valor: = incógnita · = passo 2 · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os sinais ou esquecer o +2.
Passo 6 — Testar valores inteiros de x
O número de vértices está entre 8 e 15. Como x é inteiro (quantidade de faces), testamos valores para ver qual satisfaz a condição.
Por que esta fórmula: V = 5x + 2, então para x = 1, V = 7; x = 2, V = 12; x = 3, V = 17. Apenas x = 2 está no intervalo.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 5 · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Considerar x = 1 ou x = 3, que estão fora do intervalo.
Passo 7 — Calcular o número de arestas
Com x = 2, substituímos na expressão de A para obter o valor final.
Por que esta fórmula: A = 9x, então com x = 2, A = 18.