Questão de Matemática — Cilindro — FGV 2023

Cilindro de revolução: volume em função do eixo de rotação

Gabarito: letra D — a ordem correta é $V_{III} < V_{II} < V_I$, pois o volume do cilindro gerado é proporcional ao quadrado do raio, e o raio é a distância do eixo ao lado oposto do retângulo. Quanto maior essa distância, maior o volume.

A questão explora a relação entre o eixo de rotação e as dimensões do cilindro gerado. Quando um retângulo gira em torno de um eixo, o raio da base do cilindro é a distância do eixo até o lado mais afastado do retângulo, e a altura é o comprimento do lado que está sobre o eixo. O volume é dado por $V = \pi r^2 h$, então o raio influencia quadraticamente, enquanto a altura influencia linearmente.

Vamos analisar cada caso:

• Caso I: eixo sobre o lado de medida $l$. O raio é $2l$ (o outro lado) e a altura é $l$. Volume: $V_I = \pi (2l)^2 \cdot l = 4\pi l^3$.

• Caso II: eixo sobre o lado de medida $2l$. O raio é $l$ e a altura é $2l$. Volume: $V_{II} = \pi l^2 \cdot 2l = 2\pi l^3$.

• Caso III: eixo contém os pontos médios dos lados de medida $2l$. O eixo passa pelo centro do retângulo, então o raio é $l/2$ (metade do lado $l$) e a altura é $2l$. Volume: $V_{III} = \pi (l/2)^2 \cdot 2l = \pi l^3/2$.

Comparando: $V_{III} = 0,5\pi l^3$, $V_{II} = 2\pi l^3$, $V_I = 4\pi l^3$. Portanto, $V_{III} < V_{II} < V_I$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $V_I < V_{II} < V_{III}$, invertendo completamente a ordem. Na verdade, $V_I$ é o maior volume, pois o raio é $2l$, e $V_{III}$ é o menor, pois o raio é $l/2$. A banca troca a ordem crescente pela decrescente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $V_I < V_{VIII} < V_{II}$, o que não faz sentido, pois $V_{VIII}$ não existe (o correto é $V_{III}$). Além disso, a ordem está errada: $V_{III}$ é o menor, não o intermediário.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $V_{III} < V_I < V_{II}$, mas $V_I$ é o maior, não o intermediário. A ordem correta é $V_{III} < V_{II} < V_I$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $V_{III} < V_{II} < V_I$, que é exatamente a ordem que calculamos: $0,5\pi l^3 < 2\pi l^3 < 4\pi l^3$. O raio é o fator dominante, pois está ao quadrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os três volumes são iguais, o que é falso, pois os raios são diferentes ($2l$, $l$ e $l/2$), gerando volumes distintos.

Gabarito: letra D