Questão de Matemática — Funções — FGV 2023

Funções Reais — Conjunto-Imagem

Gabarito: letra D. O conjunto-imagem de uma função logarítmica composta $f(x) = \ln(g(x))$ é determinado pelo intervalo de valores que a função interna $g(x)$ assume. Como a função logarítmica natural é crescente, o valor máximo de $f(x)$ ocorre quando $g(x)$ atinge seu valor máximo, resultando em $k = 1 + \ln(4)$.

Para encontrar o conjunto-imagem, analisamos a função interna $g(x) = \frac{3e}{x^2 - x + 1}$. O valor máximo de $g(x)$ ocorre quando o denominador $x^2 - x + 1$ atinge seu valor mínimo. Como se trata de uma parábola com concavidade voltada para cima ($a=1 > 0$), o valor mínimo ocorre no vértice:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$

Substituindo $x_v$ na expressão do denominador:

$g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$

O valor máximo da função interna é:

$g_{max} = \frac{3e}{3/4} = 3e \cdot \frac{4}{3} = 4e$

Como $g(x)$ pode assumir qualquer valor positivo (o denominador cresce indefinidamente para $x \to \pm\infty$, fazendo $g(x) \to 0^+$), a imagem de $g(x)$ é o intervalo $(0, 4e]$. Aplicando a função logarítmica natural, que é estritamente crescente:

$f(x) = \ln(g(x)) \leq \ln(4e) = \ln(4) + \ln(e) = \ln(4) + 1$

Portanto, o conjunto-imagem é $(-\infty, 1 + \ln(4)]$, o que identifica $k = 1 + \ln(4)$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\ln(3)$ não corresponde ao limite superior da imagem, pois ignora a constante $e$ e a minimização do denominador quadrático.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\ln(4)$ desconsidera a constante $e$ presente no numerador da função interna.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $1 + \ln(3)$ resulta de um erro no cálculo do valor mínimo do denominador ou na simplificação da expressão $3e / (3/4)$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde exatamente ao valor máximo da função $f(x)$ obtido através da análise do vértice da parábola no denominador.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\ln(3) + \ln(4)$ é uma distração algébrica que não reflete a aplicação correta das propriedades dos logaritmos sobre o valor máximo da função interna.