Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2023

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg068567
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Doze cadeiras idênticas foram colocadas lado a lado, formando uma fileira. Apenas duas delas serão ocupadas, uma por Ângela e outra por Beatriz. As demais ficarão desocupadas.O número de formas distintas nas quais elas podem tomar seus assentos, sem ficar em posições vizinhas e sem que haja, entre elas, mais do que 6 cadeiras vazias, é igual a
  1. A30.
  2. B45.
  3. C60.
  4. D75.
  5. E90.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 90.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 90 formas, alternativa E.

A ideia por trás

A análise combinatória estuda maneiras de contar agrupamentos sem precisar listá-los um a um. Aqui contamos pares de posições (cadeiras) que duas pessoas podem ocupar, respeitando restrições de distância. A combinação C(n,2) conta quantos pares de posições existem, e como as pessoas são distintas, cada par gera duas formas (Ângela numa, Beatriz na outra, ou vice-versa). A restrição de não vizinhas e de distância máxima reduz o total. Nesta questão, precisamos contar todos os pares possíveis, depois subtrair os que violam as condições, usando o princípio da inclusão-exclusão.

O que a questão dá

  • 12 cadeiras em fileira

  • 2 pessoas: Ângela e Beatriz

  • não podem ser vizinhas

  • entre elas, no máximo 6 cadeiras vazias

O que queremos: o número de formas distintas de ocupar as cadeiras

Passo 1 — Contar todos os pares de posições

Primeiro contamos sem restrição: de quantas maneiras podemos escolher 2 cadeiras entre 12 para as duas pessoas. Isso dá a base para depois subtrair as proibidas.

Por que esta fórmula: Usamos combinação C(12,2) porque a ordem das cadeiras não importa (escolhemos um par), e depois multiplicamos por 2 porque Ângela e Beatriz são distintas.

C12,2=12!2!⋅10!C_{12{,}2} = \frac{12!}{2! \cdot 10!}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 12 cadeiras · 22 = enunciado: 2 pessoas

C12,2=12⋅112=66 paresC_{12{,}2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = \boxed{66\ \text{pares}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 depois, contando apenas os pares, não as formas de ocupação.

Passo 2 — Multiplicar pelo número de pessoas

Cada par de cadeiras pode ser ocupado de duas maneiras: Ângela na primeira e Beatriz na segunda, ou o contrário. Como as pessoas são distintas, precisamos contar essas variações.

Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem: para cada par, há 2 escolhas de quem senta onde.

T=66×2T = 66 \times 2

De onde vem cada valor: 6666 = passo 1 · 22 = enunciado: duas pessoas distintas

T=66×2=132 formasT = 66 \times 2 = \boxed{132\ \text{formas}}
NÃO CAIA NESSA!

Não multiplicar por 2, achando que a ordem não importa.

Passo 3 — Contar os pares vizinhos

A primeira restrição é que não podem ser vizinhas. Precisamos contar quantos pares de cadeiras são vizinhas (diferença 1) para subtrair depois.

Por que esta fórmula: Em uma fileira de 12, os pares vizinhos são (1,2), (2,3), ..., (11,12), totalizando 11 pares.

V=11×2V = 11 \times 2

De onde vem cada valor: 1111 = enunciado: 12 cadeiras, pares consecutivos · 22 = enunciado: duas pessoas

V=11×2=22 formasV = 11 \times 2 = \boxed{22\ \text{formas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 12 pares, esquecendo que o último par é (11,12).

Passo 4 — Contar pares com mais de 6 vazias

A segunda restrição: entre elas não pode haver mais de 6 cadeiras vazias. Isso significa que a diferença entre as posições (j - i) não pode ser maior que 7, pois o número de vazias é j - i - 1. Pares com diferença 8, 9, 10, 11 são proibidos.

Por que esta fórmula: Contamos os pares por diferença: diferença 8: (1,9) a (4,12) = 4; diferença 9: (1,10) a (3,12) = 3; diferença 10: (1,11) a (2,12) = 2; diferença 11: (1,12) = 1. Somamos e multiplicamos por 2.

P=(4+3+2+1)×2P = (4+3+2+1) \times 2

De onde vem cada valor: 44 = diferença 8: pares (1,9) a (4,12) · 33 = diferença 9: pares (1,10) a (3,12) · 22 = enunciado: duas pessoas · 11 = diferença 11: par (1,12)

P=(4+3+2+1)×2=20 formasP = (4+3+2+1) \times 2 = \boxed{20\ \text{formas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar pares com diferença 7 também, mas esses são permitidos (6 vazias).

Passo 5 — Subtrair as formas proibidas

As restrições são independentes: um par não pode ser vizinho e ter diferença >7 ao mesmo tempo. Então somamos as formas proibidas e subtraímos do total.

Por que esta fórmula: Princípio da inclusão-exclusão: total - (vizinhos + distância grande).

R=132−(22+20)R = 132 - (22 + 20)

De onde vem cada valor: 132132 = passo 2 · 2222 = passo 3 · 2020 = passo 4

R=132−42=90 formasR = 132 - 42 = \boxed{90\ \text{formas}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas uma das restrições, esquecendo a outra.

Resposta: 90 formas, alternativa E

Link permanente: /questoes/fg068567