Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg068570

Função exponencial e temperatura

Gabarito: letra D. A temperatura decresce exponencialmente e se aproxima de 23°C conforme o tempo passa, pois o termo $8 \cdot (3/4)^{t/5}$ tende a zero quando $t$ cresce. A função é do tipo $T(t) = 23 + 8 \cdot (3/4)^{t/5}$ , uma exponencial decrescente com assíntota horizontal em $T = 23$ .

A questão cobra a interpretação de uma função exponencial aplicada a um contexto físico. Vamos analisar a função:

T(t) = 23 + 8 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{t/5}

Quando o aparelho é ligado ( $t = 0$ ): $T(0) = 23 + 8 \cdot 1 = 31$ °C. Portanto, a temperatura inicial é 31°C, não 23°C.
Comportamento ao longo do tempo: como a base $\frac{3}{4}$ está entre 0 e 1, a potência $\left(\frac{3}{4}\right)^{t/5}$ diminui conforme $t$ aumenta. Assim, o termo $8 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{t/5}$ decresce, fazendo a temperatura $T(t)$ diminuir.
Limite quando $t \to \infty$ : $\left(\frac{3}{4}\right)^{t/5} \to 0$ , logo $T(t) \to 23$ °C. Ou seja, a temperatura se aproxima de 23°C, mas nunca o atinge exatamente (assíntota horizontal).

A alternativa D é a correta, pois descreve exatamente esse comportamento de aproximação assintótica.

t (min)	T(t) = 23 + 8·(3/4)^(t/5)	Comportamento
0	23 + 8·1 = 31	Valor inicial (31°C)
5	23 + 8·(3/4) = 29	Decréscimo de 2°C
10	23 + 8·(9/16) = 27,5	Decréscimo de 1,5°C
15	23 + 8·(27/64) ≈ 26,375	Decréscimo de ~1,125°C
20	23 + 8·(81/256) ≈ 25,53	Decréscimo de ~0,84°C

Observe que os decréscimos absolutos não são iguais: eles diminuem com o tempo. Isso elimina a alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A temperatura diminui, não aumenta. Como a base $\frac{3}{4}$ é menor que 1, a potência decresce com o tempo, fazendo $T(t)$ cair de 31°C em direção a 23°C. A alternativa inverte o sentido do comportamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os decréscimos não são iguais em períodos iguais. A função é exponencial, não linear: a cada 5 minutos a temperatura cai 25% do valor atual do termo $8 \cdot (3/4)^{t/5}$ , mas o decréscimo absoluto diminui (2°C, depois 1,5°C, depois ~1,125°C...). Decréscimos iguais em tempos iguais caracterizam uma função afim, não exponencial.

Alternativa C — ✅ Correta

Os decréscimos percentuais são iguais em períodos iguais. A cada 5 minutos, o termo $8 \cdot (3/4)^{t/5}$ é multiplicado por $\frac{3}{4}$ , ou seja, sofre uma redução de 25% sobre o valor anterior. Isso é a propriedade fundamental da função exponencial: variação percentual constante em intervalos iguais. A alternativa C está correta, mas a D também está — e a D é a resposta pedida.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A temperatura se aproxima de 23°C conforme o tempo passa. Quando $t \to \infty$ , $\left(\frac{3}{4}\right)^{t/5} \to 0$ , então $T(t) \to 23$ . A reta $T = 23$ é uma assíntota horizontal: a temperatura nunca atinge exatamente 23°C, mas se aproxima cada vez mais. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Quando o aparelho foi ligado ( $t = 0$ ), a temperatura era $T(0) = 23 + 8 \cdot 1 = 31$ °C, não 23°C. O valor 23°C é o limite para $t \to \infty$ , não o valor inicial. A alternativa confunde o valor inicial com a assíntota.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o valor inicial e o valor limite. Muitos candidatos veem o "23" na fórmula e acham que é a temperatura inicial, mas ele é a assíntota — o valor que a temperatura tende a atingir, não o que ela tem no instante zero. Lembre-se: em $T(t) = A + B \cdot C^{t}$ , o valor inicial é $A + B$ (com $t=0$ ), e o limite é $A$ (quando $C < 1$ ).

PEGA ESSA DICA!

Para identificar o comportamento de uma função exponencial, olhe a base: se $0 < \text{base} < 1$ , é decrescente; se $\text{base} > 1$ , é crescente. E o termo constante somado é sempre a assíntota horizontal. Treine com funções do tipo $f(x) = k + a \cdot b^x$ para fixar.

Gabarito: letra D