GabaritoE — 252.
Gabarito: letra E — a conta chega a 252 diagonais (alternativa E).
Em um polígono regular convexo, todos os ângulos internos são iguais e todos os externos também. A relação fundamental é que ângulo interno e ângulo externo são suplementares, ou seja, somam 180°, porque juntos formam um ângulo raso ao longo de um lado. O ângulo externo de um polígono regular de n lados é dado por 360°/n, pois a soma dos ângulos externos é sempre 360°. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por D = n(n−3)/2, que conta todos os segmentos ligando vértices não adjacentes. Nesta questão, a diferença entre interno e externo é dada, e como sabemos que eles somam 180°, podemos montar um sistema para achar cada ângulo, depois usar o ângulo externo para descobrir n e, por fim, calcular as diagonais.
diferença entre ângulo interno e externo = 150°
polígono regular convexo
O que queremos: o número de diagonais do polígono
Precisamos descobrir os ângulos interno e externo. Como eles são suplementares (somam 180°) e o enunciado dá a diferença (150°), temos duas equações com duas incógnitas. Isso é um sistema linear simples que resolve os dois ângulos de uma vez.
Por que esta fórmula: A relação interno + externo = 180° vale para qualquer polígono, pois os dois ângulos formam um ângulo raso. A diferença é dada no enunciado. Com essas duas equações, podemos somar e subtrair para isolar cada ângulo.
De onde vem cada valor: = enunciado: ângulo interno (incógnita) · = enunciado: ângulo externo (incógnita) · = propriedade: interno + externo = 180° · = enunciado: diferença entre interno e externo
Esquecer que interno + externo = 180° e tentar resolver só com a diferença, o que não é suficiente.
Somando as duas equações do sistema, o termo 'e' se cancela, sobrando apenas 2i = 330°. Isso isola o ângulo interno diretamente.
Por que esta fórmula: A soma de equações é uma técnica padrão para eliminar uma variável. Aqui, como os coeficientes de 'e' são +1 e -1, eles se anulam na soma.
De onde vem cada valor: = passo 1: soma das equações (i + i) · = passo 1: 180° + 150°
Errar a soma: 180 + 150 = 330, não 320 ou outro valor.
Com o ângulo interno conhecido, podemos achar o externo usando a relação de suplementaridade ou subtraindo as equações originais. Subtrair elimina 'i' e dá 2e = 30°.
Por que esta fórmula: Subtrair a segunda equação da primeira: (i + e) - (i - e) = 180° - 150°, resultando em 2e = 30°. Isso é mais direto do que usar i + e = 180°.
De onde vem cada valor: = passo 1: subtração das equações (e - (-e)) · = passo 1: 180° - 150°
Confundir a ordem da subtração e obter 2e = -30°, o que daria ângulo negativo.
O ângulo externo de um polígono regular é 360° dividido pelo número de lados. Como já sabemos que o externo vale 15°, podemos isolar n.
Por que esta fórmula: A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre 360°. Em um polígono regular, todos os externos são iguais, então cada um mede 360°/n. Essa é a fórmula que liga o ângulo externo ao número de lados.
De onde vem cada valor: = passo 3: 15° · = propriedade: soma dos ângulos externos · = incógnita: número de lados
Inverter a fração: usar n = 15/360, o que daria um número fracionário sem sentido.
Com o número de lados (n = 24), aplicamos a fórmula de diagonais. Essa fórmula conta todos os segmentos que ligam vértices não adjacentes, descontando os lados e as repetições.
Por que esta fórmula: A fórmula D = n(n−3)/2 é a padrão para diagonais de um polígono convexo: de cada vértice partem n−3 diagonais (excluindo ele mesmo e os dois vizinhos), e dividimos por 2 porque cada diagonal é contada duas vezes.
De onde vem cada valor: = passo 4: 24 · = constante: cada vértice não se conecta a si mesmo nem aos dois adjacentes
Esquecer de dividir por 2, obtendo 504, ou usar n−2 em vez de n−3.
Resposta: 252 diagonais (alternativa E)
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