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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg068573
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Um cone circular reto tem volume 40π dm³ . A razão entre as medidas da sua altura e do raio de sua base é 15/8 .Esse cone é cortado por um plano paralelo à sua base, que dista 1,5 dm do seu vértice, produzindo um tronco de cone.O volume desse tronco, em decímetros cúbicos, é
  1. A39,68π.
  2. B38,28π.
  3. C38,18π.
  4. D36,68π.
  5. E36,18π.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 39,68π.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 39,68π dm³ (alternativa A).

A ideia por trás

O cone é um sólido que afunila de uma base circular até um vértice. Seu volume mede o espaço que ele ocupa e depende da área da base e da altura: quanto maior a base ou a altura, maior o volume. A fórmula é V = (1/3)πr²h, em que r é o raio da base e h é a altura. Quando um cone é cortado por um plano paralelo à base, o pedaço de cima (que contém o vértice) é um cone menor, semelhante ao original: todas as suas medidas lineares (raio, altura) são reduzidas na mesma proporção. Por isso, os volumes estão na razão do cubo dessa proporção. Nesta questão, precisamos achar as dimensões do cone original usando a razão dada, depois achar as dimensões do cone menor pela semelhança, calcular seu volume e subtrair do volume total para obter o tronco.

O que a questão dá

  • volume do cone original = 40π dm³

  • razão altura/raio = 15/8

  • distância do plano ao vértice = 1,5 dm

O que queremos: o volume do tronco de cone formado pelo corte

Passo 1 — Expressar a altura em função do raio

A razão entre altura e raio é dada, mas não conhecemos nenhum dos dois. Escrever h = (15/8)r permite substituir na fórmula do volume e achar r.

Por que esta fórmula: A razão h/r = 15/8 significa que h é 15/8 vezes r, então isolamos h.

h=158rh = \frac{15}{8} r

De onde vem cada valor: hh = enunciado: altura do cone · rr = enunciado: raio da base

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo r = (15/8)h, o que levaria a um raio errado.

Passo 2 — Substituir na fórmula do volume e achar o raio

Com h em função de r, a fórmula do volume fica com uma única incógnita, r. Resolvendo a equação, encontramos o raio do cone original.

Por que esta fórmula: O volume do cone é V = (1/3)πr²h. Substituindo h, a equação fica em função de r³, que podemos isolar.

13πr2⋅158r=40π\frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot \frac{15}{8}r = 40\pi

De onde vem cada valor: 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^{2} h = fórmula do volume do cone · hh = passo 1: (15/8)r · 40π40\pi = enunciado: volume do cone original

13πr2⋅158r=40π\frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot \frac{15}{8}r = 40\pi
r=4 dmr = \boxed{4\ \text{dm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por π dos dois lados, ou errar na simplificação de 15/24.

Passo 3 — Calcular a altura do cone original

Com o raio conhecido, usamos a razão para achar a altura, que será necessária para a semelhança.

Por que esta fórmula: A razão h/r = 15/8 já foi expressa; basta substituir r = 4.

h=158⋅rh = \frac{15}{8} \cdot r

De onde vem cada valor: 158\frac{15}{8} = enunciado: razão altura/raio · rr = passo 2: 4 dm

h=158⋅4h = \frac{15}{8} \cdot 4
h=7,5 dmh = \boxed{7{,}5\ \text{dm}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado: 15*4/8 = 60/8 = 7,5, não 7,2.

Passo 4 — Achar o raio do cone menor por semelhança

O corte paralelo à base cria um cone menor semelhante ao original. A razão entre alturas é a mesma entre raios, então podemos achar o raio do cone menor.

Por que esta fórmula: Em sólidos semelhantes, as medidas lineares correspondentes são proporcionais: r'/r = h'/h.

r′r=h′h\frac{r'}{r} = \frac{h'}{h}

De onde vem cada valor: r′r' = raio do cone menor (incógnita) · rr = passo 2: 4 dm · h′h' = enunciado: 1,5 dm (distância do vértice ao corte) · hh = passo 3: 7,5 dm

r′4=1,57,5\frac{r'}{4} = \frac{1{,}5}{7{,}5}
r′=0,8 dmr' = \boxed{0{,}8\ \text{dm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura do tronco (6 dm) em vez da altura do cone menor (1,5 dm), o que daria r' = 3,2 dm.

Passo 5 — Calcular o volume do cone menor

O tronco é o cone original menos o cone menor. Para subtrair, precisamos do volume do cone menor.

Por que esta fórmula: O cone menor também é um cone, então usamos a mesma fórmula de volume com seus próprios raio e altura.

V′=13π(r′)2h′V' = \frac{1}{3}\pi (r')^{2} h'

De onde vem cada valor: r′r' = passo 4: 0,8 dm · h′h' = enunciado: 1,5 dm

V′=13π(0,8)2⋅1,5V' = \frac{1}{3}\pi (0{,}8)^{2} \cdot 1{,}5
V′=0,32 πdm3V' = \boxed{0{,}32\ \pi \text{dm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência: 0,8² = 0,64, não 0,64? (está certo), mas esquecer de multiplicar por 1,5 e dividir por 3.

Passo 6 — Subtrair o volume do cone menor do total

O tronco é o que sobra do cone original após remover o cone menor. Subtraindo os volumes, obtemos o volume do tronco.

Por que esta fórmula: O volume do tronco é a diferença entre o volume do cone original e o do cone menor.

Vtronco=V−V′V_{tronco} = V - V'

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 40π dm³ · V′V' = passo 5: 0,32π dm³

Vtronco=40π−0,32πV_{tronco} = 40\pi - 0{,}32\pi
Vtronco=39,68 πdm3V_{tronco} = \boxed{39{,}68\ \pi \text{dm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada ou esquecer de subtrair, dando 40π.

Resposta: 39,68π dm³ (alternativa A)

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