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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg068575
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Em uma urna há 9 bolas, sendo 1 azul, 3 brancas e 5 pretas.Um dado honesto, com as seis faces numeradas de 1 a 6, será lançado. Se o resultado desse lançamento for menor do que 5, uma única bola será retirada da urna de forma aleatória. Caso contrário, serão retiradas, sucessivamente e ao acaso, duas bolas dessa urna.Nesse processo, a probabilidade de que ao menos uma bola branca seja retirada é de
  1. A7/18.
  2. B5/12.
  3. C7/12
  4. D4/9.
  5. E2/9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5/12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 5/12 (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento ocorrer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando um experimento tem etapas que dependem de um sorteio anterior, usamos a probabilidade total: somamos as probabilidades de cada caminho, multiplicando a chance de cada condição pela chance do evento dentro dela. Aqui, o dado decide quantas bolas saem, então separamos em dois casos. Para 'ao menos uma branca', é mais fácil calcular a chance de nenhuma branca e subtrair de 1, pois o complemento é exato. Nesta questão, precisamos calcular a probabilidade de nenhuma branca em cada cenário e combinar.

O que a questão dá

  • urna: 1 azul, 3 brancas, 5 pretas (total 9)

  • dado honesto com faces 1 a 6

  • se dado < 5: retira 1 bola

  • se dado ≥ 5: retira 2 bolas sem reposição

O que queremos: probabilidade de retirar ao menos uma bola branca

Passo 1 — Calcular a chance de cada resultado do dado

O dado decide quantas bolas serão retiradas, então precisamos saber a probabilidade de cada condição antes de calcular as retiradas. O dado tem 6 faces, todas igualmente prováveis.

Por que esta fórmula: Probabilidade clássica: casos favoráveis divididos por casos possíveis.

P=casos favoraˊveiscasos possıˊveisP = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}

De onde vem cada valor: casosfavoraˊveiscasos favoráveis = enunciado: resultados menores que 5 são 1,2,3,4 (4 casos); maiores ou iguais a 5 são 5,6 (2 casos) · casospossıˊveiscasos possíveis = enunciado: 6 faces

P<5=46=23,P≥5=26=13P_{<5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad P_{\geq 5} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(dado < 5) = 2/3, P(dado ≥ 5) = 1/3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 'menor que 5' exclui o 5, contando 5 casos em vez de 4.

Passo 2 — Calcular a chance de nenhuma branca ao retirar 1 bola

Se o dado der menor que 5, retiramos apenas 1 bola. Para o complemento, precisamos da probabilidade de essa bola não ser branca.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis (não brancas) sobre o total de casos (todas as bolas).

P(nenhuma branca)=na˜o brancastotalP(\text{nenhuma branca}) = \frac{\text{não brancas}}{\text{total}}

De onde vem cada valor: na~obrancasnão brancas = enunciado: 1 azul + 5 pretas = 6 · totaltotal = enunciado: 9 bolas

P=69=23=2 /3P = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Contar as brancas (3) em vez das não brancas (6).

Passo 3 — Calcular a chance de nenhuma branca ao retirar 2 bolas

Se o dado der 5 ou 6, retiramos duas bolas sem reposição. A probabilidade de nenhuma branca em duas retiradas é o produto das probabilidades de cada retirada, pois a segunda depende da primeira (sem reposição).

Por que esta fórmula: Para eventos sucessivos sem reposição, multiplicamos as probabilidades: na primeira retirada há 6 não brancas em 9; na segunda, restam 5 não brancas em 8 bolas.

P=69×58P = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8}

De onde vem cada valor: 6/96/9 = passo 2: não brancas / total na primeira retirada · 5/85/8 = após retirar uma não branca, restam 5 não brancas e 8 bolas no total

P=69×58=3072=512=5 /12P = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12} = \boxed{5\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Usar reposição (6/9 × 6/9) ou esquecer de reduzir o total para 8.

Passo 4 — Combinar os cenários com a probabilidade total

Temos as probabilidades de nenhuma branca em cada cenário e as chances de cada cenário ocorrer. A probabilidade total de nenhuma branca é a soma das probabilidades de cada caminho, pois os cenários são mutuamente exclusivos.

Por que esta fórmula: Teorema da probabilidade total: P(nenhuma) = P(dado<5) × P(nenhuma|dado<5) + P(dado≥5) × P(nenhuma|dado≥5).

P(nenhuma)=23×23+13×512P(\text{nenhuma}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{12}

De onde vem cada valor: 2/3(primeiro)2/3 (primeiro) = passo 1: probabilidade do dado < 5 · 2/3(segundo)2/3 (segundo) = passo 2: probabilidade de nenhuma branca com 1 bola · 1/31/3 = passo 1: probabilidade do dado ≥ 5 · 5/125/12 = passo 3: probabilidade de nenhuma branca com 2 bolas

P=23×23+13×512=49+536=1636+536=2136=712=7 /12P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{12} = \frac{4}{9} + \frac{5}{36} = \frac{16}{36} + \frac{5}{36} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} = \boxed{7\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as frações sem encontrar o denominador comum (36).

Passo 5 — Aplicar o complemento para achar ao menos uma branca

A probabilidade de 'ao menos uma branca' é o oposto de 'nenhuma branca'. Como já calculamos a chance de nenhuma branca, subtraímos de 1.

Por que esta fórmula: Eventos complementares: P(A) = 1 - P(não A).

P(ao menos 1 branca)=1−P(nenhuma branca)P(\text{ao menos 1 branca}) = 1 - P(\text{nenhuma branca})

De onde vem cada valor: P(nenhumabranca)P(nenhuma branca) = passo 4: 7/12

P=1−712=1212−712=512=5 /12P = 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} = \boxed{5\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair de 1 e marcar 7/12 (alternativa C).

Resposta: 5/12 (alternativa B)

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