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Questão de Matemática — Funções — FGV 2023

MatemáticaFunções
Código
fg068576
Banca
FGV
Órgão
SEDUC-TO
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor da Educação Básica - Professor Regente - Matemática
Seja h: [5, ∞) → [3, ∞) uma função que, ao receber um valor do domínio, subtrai 5 unidades, eleva ao quadrado o resultado dessa subtração e, finalmente, produz a imagem acrescentando 3.Pode-se afirmar que a função inversa é
  1. Ah-¹ : [3, ∞) → [5, ∞) tal que h-¹(x) = √x + 5 − 3
  2. Bh-¹ : [5, ∞) → [3, ∞) tal que h-¹(x) = √x + 5 − 3
  3. Ch-¹ : [3, ∞) → [5, ∞) tal que h-¹(x) = √x − 3 + 5
  4. Dh-¹ : [5, ∞) → [3, ∞) tal que h-¹(x) = √x − 3 + 5
  5. Eh-¹ : [3, ∞) → [5, ∞) tal que h-¹(x) = √x − 3 − 5
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GabaritoC — h-¹ : [3, ∞) → [5, ∞) tal que h-¹(x) = √x − 3 + 5

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função inversa: composição e domínio/contradomínio

Gabarito: letra C. A função dada é h(x)=(x−5)2+3h(x) = (x-5)^2 + 3, com domínio [5,∞)[5, \infty) e imagem [3,∞)[3, \infty). Para achar a inversa, trocamos xx e yy e isolamos yy: x=(y−5)2+3⇒y=x−3+5x = (y-5)^2 + 3 \Rightarrow y = \sqrt{x-3} + 5. Como o domínio de hh é [5,∞)[5, \infty), a inversa tem contradomínio [5,∞)[5, \infty); e como a imagem de hh é [3,∞)[3, \infty), a inversa tem domínio [3,∞)[3, \infty). Portanto, h−1:[3,∞)→[5,∞)h^{-1}: [3, \infty) \to [5, \infty), h−1(x)=x−3+5h^{-1}(x) = \sqrt{x-3} + 5.

A função inversa é um conceito central em funções: ela "desfaz" o que a função original faz. Para existir, a função precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora). Aqui, h(x)=(x−5)2+3h(x) = (x-5)^2 + 3 é uma parábola com vértice em x=5x=5, e como o domínio é restrito a [5,∞)[5, \infty), ela é crescente e, portanto, injetora. A imagem é exatamente [3,∞)[3, \infty), então é sobrejetora. Logo, é bijetora e admite inversa.

O processo para encontrar a inversa é sempre o mesmo:

  1. Escrever y=h(x)y = h(x).

  2. Trocar xx por yy (e vice-versa).

  3. Isolar yy — esse yy é h−1(x)h^{-1}(x).

Aplicando: y=(x−5)2+3y = (x-5)^2 + 3. Trocando: x=(y−5)2+3x = (y-5)^2 + 3. Isolando: x−3=(y−5)2x - 3 = (y-5)^2. Como y≥5y \geq 5 (pois o domínio original é [5,∞)[5, \infty)), tiramos a raiz positiva: y−5=x−3y - 5 = \sqrt{x-3}, logo y=x−3+5y = \sqrt{x-3} + 5.

A pegadinha clássica da banca aqui é inverter a ordem das operações: o candidato faz "subtrai 3, tira raiz, soma 5" — que é o caminho certo — mas erra na notação ou no domínio/contradomínio. As alternativas trocam os intervalos e a posição do +5+5 (dentro ou fora da raiz).

  1. 1Escrever y = h(x)
  2. 2Trocar x por y
  3. 3Isolar y
  4. 4Ajustar domínio/contradomínio
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Critério

Função original (h)

Função inversa (h^{-1}) (correta)

Domínio

([5,∞))([5, \infty))

[3,∞[3, \infty) (imagem da original)

Contradomínio

([3,∞))([3, \infty))

[5,∞[5, \infty) (domínio da original)

Lei de formação

(h(x) = (x-5)^2 + 3)

(h−1(x)=x−3+5)(h^{-1}(x) = \sqrt{x-3} + 5)

Ordem das operações

Subtrai 5 → eleva ao quadrado → soma 3

Subtrai 3 → raiz quadrada → soma 5

Alternativa A — ❌ Incorreta

A lei está errada: x+5−3=x+2\sqrt{x} + 5 - 3 = \sqrt{x} + 2. Isso não corresponde à inversa correta. O erro é colocar o +5+5 dentro da raiz e o −3-3 fora, invertendo as operações. A ordem correta é: subtrair 3 (dentro da raiz) e somar 5 (fora).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Além da lei errada (mesmo erro da A), o domínio e o contradomínio estão trocados: a inversa deve ter domínio [3,∞)[3, \infty) (imagem da original) e contradomínio [5,∞)[5, \infty) (domínio da original). Aqui está [5,∞)→[3,∞)[5, \infty) \to [3, \infty), que é o caminho inverso do correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A lei h−1(x)=x−3+5h^{-1}(x) = \sqrt{x-3} + 5 está correta, e os intervalos também: domínio [3,∞)[3, \infty) (imagem de hh) e contradomínio [5,∞)[5, \infty) (domínio de hh). É exatamente a definição de função inversa: o domínio da inversa é a imagem da original, e o contradomínio da inversa é o domínio da original.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A lei está correta (x−3+5\sqrt{x-3} + 5), mas os intervalos estão trocados: [5,∞)→[3,∞)[5, \infty) \to [3, \infty). Isso inverteria o sentido da função, o que não faz sentido para a inversa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A lei está errada: x−3−5\sqrt{x-3} - 5. O sinal do 55 está trocado — deveria ser +5+5, pois a operação original é "acrescentar 3" no final, então na inversa devemos "somar 5" (desfazer a subtração de 5). Além disso, o domínio/contradomínio estão corretos, mas a lei errada já invalida.

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora inverter a ordem das operações na inversa. Lembre-se: a inversa desfaz na ordem contrária. Se a função faz "subtrai 5, eleva ao quadrado, soma 3", a inversa faz "subtrai 3, tira raiz, soma 5". E não confunda os intervalos: o domínio da inversa é a imagem da original, e vice-versa.

PEGA ESSA DICA!

Para conferir se a inversa está certa, teste com um valor: h(5)=3h(5) = 3. Então h−1(3)h^{-1}(3) deve ser 55. Na alternativa C: 3−3+5=5\sqrt{3-3} + 5 = 5. ✅ Nas outras, o resultado não bate. Esse teste rápido resolve a questão sem medo.

Gabarito: letra C

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